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4·4平行四边形的判定定理__第1课时平行四边形的判定(一)1．[2012·巴中]下面不能判定一个四边形是平行四边形的条件是(B)A．两组对边分别平行B．一组对边平行，另一组对边相等C．一组对边平行且相等D．两组对边分别相等【解析】根据平行四边形的判定，A，C，D均符合平行四边形的判定条件，B则不能判定是平行四边形．对于判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．2．在下面给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是(C)A．AB＝BC，AD＝CDB．AB∥CD，AD＝BCC．AB∥CD，∠B＝∠DD．∠A＝∠B，∠C＝∠D【解析】利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定．选C.3．[2012·益阳]如图4－4－1所示，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连结AB，AD，CD，则四边形ABCD一定是(A)图4－4－1A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形【解析】∵分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧交于点D，∴AD＝BC，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．4．已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法共有(C)A．6种B．5种C．4种D．3种【解析】共有选法①②，①③，①④，②③，②④，③④，其中能判定平行四边形的有①②，①③，②④，③④，共有4种．选C.5．如图4－4－2所示，在▱ABCD中，EF∥BC，则四边形AEFD是__平行__四边形，这说明两组对边__分别平行__的四边形是平行四边形．图4－4－26．[2013·三明]如图4－4－3，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是__答案不唯一，如AB＝CD或AD∥BC或∠A＝∠C或∠B＝∠D或∠A＋∠B＝180°或∠C＋∠D＝180°等__．图4－4－37．[2013·玉溪]如图4－4－4，在▱ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，求证：AF＝CE.图4－4－4证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.又∵点E，F分别是边AD，BC的中点，∴AE＝CF.∴四边形AECF是平行四边形．∴AF＝CE.8．已知：如图4－4－5所示，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE.图4－4－5(1)求证：△AFD≌△CEB；(2)四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．解：(1)证明：∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC.在△AFD和△CEB中，∵DF＝BE，∠DFA＝∠BEC，AF＝CE，∴△AFD≌△CEB(SAS)．(2)四边形ABCD是平行四边形．理由：∵△AFD≌△CEB，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．9．[2012·泰州]如图4－4－6所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．图4－4－6证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD＝∠FCB＝90°.∵AE＝CF，∴△EAD≌△FCB(AAS)，∴AD＝CB.∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．10．[2013·十堰]如图4－4－7，▱ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝3，则AB的长是__1__.图4－4－7【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD.∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB＝DE＝CD，即D为CE中点．∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°.∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠ABC＝60°，∴∠CEF＝30°.∵EF＝3，∴CE＝2，∴AB＝1.11．[2012·南平]如图4－4－8所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若点E，F分别在边BC，AD上，连结AE，CF，请再从下列三个备选条件中，选择添加一个恰当的条件，使四边形AECF是平行四边形，并予以证明．备选条件：AE＝CF，BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，我选择添加的条件是：________．图4－4－8解：添加的条件是BE＝DF.证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵BE＝DF，∴AF＝CE，即AF＝CE，AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．12．如图4－4－9所示，E，F是▱ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF.图4－4－9求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)∠1＝∠2.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAE＝∠DCF.∵BE∥DF，∴∠BEF＝∠DFE.∴∠AEB＝∠CFD.∴△ABE≌△CDF(AAS)．(2)由△ABE≌△CDF得BE＝DF.∵BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形．∴∠1＝∠2.13．[2012·沈阳]已知：如图4－4－10所示，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连结EF，分别交AB，CD于点M，N，连结DM，BN.图4－4－10(1)求证：△AEM≌△CFN；(2)求证：四边形BMDN是平行四边形．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠BCD，∴∠EAM＝∠FCN.又∵AD∥BC，∴∠E＝∠F.∵AE＝CF，∴△AEM≌△CFN.(2)由(1)得AM＝CN，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB綊CD，∴BM綊DN，∴四边形BMDN是平行四边形．14．如图4－4－11所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD.若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长．图4－4－11解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴AC∥DE.又∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形，∴DE＝AC＝2.在Rt△CDE中，由勾股定理，得CD＝CE2－DE2＝23.∵D是BC的中点，∴BC＝2CD＝43.在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝213.∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴EB＝CE＝4，∴四边形ACEB的周长＝AC＋CE＋EB＋AB＝10＋213.