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分层练透教材，多重拓展培优第一章·丰富的图形世界数学·七年级上册·北师课时学习区专题1立体图形的展开与折叠专项素养拓训1.[2020吉林长春期末]图1和图2中所有的小正方形都完全相同,将图1的小正方形放在图2中的某一位置,其中所组成的图形不能围成正方体的是()A.①B.②C.③D.④答案1.A2.[2019吉林长春期末]如图是一个正方体的表面展开图,把展开图折叠成正方体后,有“我”字的一面的相对面上的字是()A.国B.厉C.害D.了答案2.A【解析】根据题中正方体的表面展开图,可知“厉”字相对的是“了”字,“害”字相对的是“的”字,“我”字相对的是“国”字.故选A.3.[2020广东阳江江城区期末]下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()答案3.C4.如图所示是一个正方体的表面展开图,这个正方体是()答案4.D【解析】正方体的4个空白面应该两两相邻,含有阴影的面相对,并且2个阴影小正方形不可能并排在一起.故选D.专题2从不同的方向看几何体专项素养拓训5.[2019江苏镇江中考]一个物体如图所示,它从上面看到的形状图是()答案5.D类型1从三个方向看物体的形状6.如图,一个几何体由5个棱长均为1的小立方块搭成,下列关于这个几何体的说法正确的是()A.从正面看到的形状图的面积为5B.从左面看到的形状图的面积为3C.从上面看到的形状图的面积为3D.从三个方向看到的形状图的面积都是4答案6.B【解析】从正面看到的是4个小正方形,故面积为4;从左面看到的是3个小正方形,故面积为3;从上面看到的是4个小正方形,故面积为4.故选B.类型1从三个方向看物体的形状7.如图所示是用6个大小相同的小立方块搭成的几何体,请你分别画出从正面、左面及上面所看到的几何体的形状图.答案7.【解析】从正面、左面及上面所看到的几何体的形状图如图所示.类型1从三个方向看物体的形状画从不同方向看到的几何体的形状图的关键是确定它们各有几列,以及每列小正方形的个数.8.[2019四川雅安期末]一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成,如图是从三个不同方向看到的形状图,则搭成这个几何体所用的小立方块的个数是()A.4B.5C.6D.7答案8.B【解析】由从三个方向看到的形状图,可知该几何体中小立方块的分布情况如图所示(小正方形内的数字表示该位置上小立方块的个数),则小立方块的个数为2+1+1+1=5.故选B.类型2由不同方向看到的几何体的形状图确定小立方块的个数9.[2019广东佛山禅城区期末]一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成,如图分别是从它的正面和左面看到的形状图,则搭成该几何体最多需要个小立方块.答案9.14【解析】由题中从正面和左面看到的形状图可知,该几何体共有3层,第一层最多有9个小立方块,第二层最多有4个小立方块,第三层有1个小立方块,所以搭成该几何体最多需要14个小立方块.类型2由不同方向看到的几何体的形状图确定小立方块的个数综合素养拓训直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.培养直观想象,首先要培养空间观念.空间观念是指对相关物体和几何图形的形状、大小、位置关系及其变化的直觉,探究有关图形内在关系、结构关系的一种想象能力,在本章主要表现在“能够由实物的形状想象出几何图形,由几何图形想象出实物的形状,进行几何体与其三个方向看到的形状图、表面展开图之间的转化”.例如第3题,借助正方体的表面展开图寻找蚂蚁所爬行的最短路线,实现立体图形与平面图形之间的转化.1.[探究被截几何体的顶点数、棱数、面数之间的关系](1)图1是正方体木块,把它切去一块,可能得到形如图2、3、4、5的木块.我们知道,图1的正方体木块有8个顶点,12条棱,6个面,请你将图2、3、4、5中木块的顶点数、棱数、面数填入下表.(2)观察上表,请你归纳上述各个木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系:.(3)图6是用虚线画出的正方体木块,请你想象一种与图2~5不同的切法,把切去一块后得到的那一块的每条棱都改画成实线,则该木块的顶点数为,棱数为,面数为.(答案不唯一,合理即可)图顶点数棱数面数181262345答案1.【解析】(1)填表如下:(2)顶点数+面数-棱数=2(3)8126(答案不唯一,合理即可)如切过之后为一长方体,所画图形如图所示.该木块的顶点数为8,棱数为12,面数为6.图顶点数棱数面数18126269538126481375101572.[与正方体有关的涂色问题]做一个正方体,并把正方体表面涂上颜色.(1)把正方体的棱二等分,然后沿等分线把正方体切开,得到8个小正方体,如图1所示,观察其中三面被涂色的有a个,那么a=;(2)把正方体的棱三等分,然后沿等分线把正方体切开,得到27个小正方体,如图2所示,观察其中三面被涂色的有b个,各面都没有被涂色的有c个,那么b+c=;(3)把正方体的棱四等分,然后沿等分线把正方体切开,得到64个小正方体,如图3所示,观察其中两面被涂色的有d个,各面都没有被涂色的有e个,那么d+e=.答案2.(1)8;(2)9;(3)32【解析】顶点处的小正方体三面被涂色,除顶点处外位于棱上的小正方体两面被涂色,位于表面中心的一面被涂色,处于内部的没有面被涂色.(1)三面被涂色的有8个,故a=8.(2)三面被涂色的有8个,各面都没有被涂色的有1个,故b+c=8+1=9.(3)两面被涂色的有24个,各面都没有被涂色的有8个,故d+e=24+8=32.3.[利用表面展开图寻找最短路线]地上有一个正方体物块,一只蚂蚁在正方体的顶点A处,一块食物在正方体的顶点B处,如图所示,现在蚂蚁想尽快吃到这块食物,那么它所爬行的最短路线是怎样的?在图上画出来.这样的最短路线有几条?答案3.【分析】欲求从点A到点B的最短路线,在立体图形中难以解决,可以考虑把正方体展开成平面图形.如图1,连接AB,沿着从点A到点B的虚线爬行,路程最短,然后把展开图折叠起来即可.【解析】所爬行的最短路线是正方体表面展开图中点A与点B之间的连线(如图1).在正方体上,像这样的最短路线一共有6条,但通过地面的有2条,这2条不符合实际意义,故符合题意的只有4条,如图2所示.答案1.D一、选择题1.下列图形中,不是柱体的是()答案2.C2.一把直角三角尺绕它的最长边旋转1周,所形成的几何体可能为()答案3.B【解析】由题图可知该几何体从正面看到的形状图有3列,从左至右每列小正方形的数目分别为1,2,1,所以①不正确;从左面看到的形状图有3列,从左至右每列小正方形的数目分别为2,2,1,所以②正确;从上面看到的形状图有3列,从左至右每列小正方形的数目分别为1,3,1,且成“十”字形,所以③正确.故选B.3.如图所示的几何体是由7个相同的小立方块堆积而成,某同学画出了从三个方向看到的形状图,在这三个形状图中正确的是()A.①②B.②③C.①③D.①②③答案4.B【解析】A项,2与3是相对的,12与4是相对的,8与6是相对的,乘积都不是24,A项不满足题意;B项,3与8是相对的,6与4是相对的,2与12是相对的,乘积都是24,B项满足题意;C项,2与3是相对的,12与8是相对的,4与6是相对的,乘积不都是24,C项不满足题意;D项,2与12是相对的,3与6是相对的,4与8是相对的,乘积不都是24,D项不满足题意.故选B.4.一个正方体模型,六个面上写着六个数,若相对的两个面上的数的乘积都等于24,则下列展开图中,正确的是()答案5.A【解析】由从上面看到的形状图可知,最底层有5个小立方块,再结合从左面看到的形状图可知,第二层最多有3个小立方块,最少有1个小立方块,即小立方块的个数为6,7或8,不可能为5.故选A.5.由若干个完全相同的小立方块搭成的一个几何体,从左面和上面看到的形状图如图所示,则搭成这个几何体的小立方块的个数不可能是()A.5B.6C.7D.8答案6.②③④①④【解析】用平面去截长方体,所得的截面可以为长方形、梯形、三角形等,不可能为圆;用平面去截圆锥,所得的截面可以为三角形和圆,不可能为四边形.二、填空题6.在如图所示的四个图形中,图形可以用平面截长方体得到;图形可以用平面截圆锥得到.(填序号)答案7.4【解析】题图第二行的四个小正方形的下方的四个位置上随意添加1个小正方形都可以使拼接后的整个图形折叠成正方体,所以这种拼接的方式有4种.7.如图所示的图形是由5个小正方形组成,若再添加1个小正方形,拼接后就能使得整个图形折叠成正方体,则这种拼接的方式有种.答案8.【解析】(1)甲、丙(2)如图,任选其一即可.(3)该包装盒的表面积为2×6×12+2×4×12+2×6×4=144+96+48=288.三、解答题8.一种长方体牛奶包装盒的长、宽、高分别为6,4,12.为了生产这种包装盒,需要先画出展开图纸样.(1)如图,给出甲、乙、丙三种纸样,其中正确的是;(2)从已知正确的纸样中选出一种,在图中标注上尺寸;(3)利用你所选的一种纸样,求出包装盒的表面积.9.[2020福建宁德期末]如图,用10个大小相同的小立方块搭成一个组合体.(1)请在指定位置画出该组合体从左面、上面看到的形状图;(2)在不改变该组合体中小立方块个数的前提下,从中移动一个小立方块,使所得新组合体与原组合体相比,从左面、上面看到的形状图保持不变,但从正面看到的形状图改变了,请画出新组合体从正面看到的所有可能的形状图.(所给的方格图不一定全用,不够可添)答案9.【解析】(1)如图所示.(2)如图所示.