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分层练透教材，多重拓展培优第二章有理数及其运算数学·七年级上册·北师课时学习区专题1数轴专项素养拓训1.[2020广西钦州期末]如图,数轴上点P表示的有理数是a,若a+b0,则有理数b在数轴上对应的点可能是()A.EB.FC.MD.N答案1.D【解析】由题中数轴可知-2a-1,若a+b0,则b|a|,则只有点N表示的数符合题意.故选D.2.[2019北京通州区期末]点A,B,C在数轴上,点O为原点,点A,B,C对应的有理数为a,b,c.若ab0,a+b0,a+b+c0,则以下符合题意的是()答案2.B【解析】因为ab0,a+b0,a+b+c0,所以c0,b0a,|a||b|或c0,a0b,|a||b|,观察选项中数轴,可知符合题意的是B项.故选B.3.已知A,B,C是数轴上的三个点,且C在B的右侧.点A,B表示的数分别是1,3,如图所示.若BC=2AB,则点C表示的数是.答案3.7【解析】因为AB=2,BC=2AB,所以BC=4,3+4=7,故点C表示的数是7.4.数轴上点M,N表示的数的绝对值相等,点P表示的数为-3,且点P与点M之间的距离为5,求点M,N所表示的数.答案4.【解析】分两种情况:(1)当点M在点P的左侧时,点M表示的数是-8,因为点M,N表示的数的绝对值相等,所以点N表示的数是8;(2)当点M在点P的右侧时,点M表示的数是2,因为点M,N表示的数的绝对值相等,所以点N表示的数是-2.综上所述,点M,N所表示的数为-8,8或2,-2.专题2有理数的运算专项素养拓训5.计算:(1)(-557)+(-612)+(-1427)-(-16.5);(2)(-0.5)-(-314)+2.75-(+712).答案5.【解析】(1)(-557)+(-612)+(-1427)-(-16.5)=[(-557)+(-1427)]+[(-6.5)-(-16.5)]=-20+10=-10.(2)(-0.5)-(-314)+2.75-(+712)=[-12+(-712)]+(314+234)=-8+6=-2.类型1有理数的混合运算6.计算:(1)-12020-(1-12)÷|3-(-3)2|;(2)(-2)2×0.25-4÷[(12)2-38]-40.类型1有理数的混合运算答案6.【解析】(1)-12020-(1-12)÷|3-(-3)2|=-1-12÷|3-9|=-1-12÷|-6|=-1-112=-1112.(2)(-2)2×0.25-4÷[(12)2-38]-40=4×0.25-4÷(14−38)-40=1-4÷(-18)-40=1+32-40=-7.类型1有理数的混合运算7.计算:(1)991718×(-9);(2)45×(-513)-(-35)×(-513)-513×(-135).类型2乘法分配律的运用答案7.【解析】(1)991718×(-9)=(100-118)×(-9)=-900+12=-89912.(2)45×(-513)-(-35)×(-513)-513×(-135)=-45×513−35×513+513×135=513×[(-45)-35+135]=513×15=113.类型2乘法分配律的运用8.先阅读并填空,再解答问题.我们知道11×2=1-12,12×3=12−13,13×4=13−14,那么14×5=,12018×2019=.利用上述式子中的规律计算:(1)12+16+112+120+130+142+156+172;(2)12×4+14×6+16×8+⋯+12018×2020.类型3运算律解答规律问题答案8.【解析】14−1512018−12019(1)12+16+112+120+130+142+156+172=11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7+17×8+18×9答案=1-12+12−13+⋯+18−19=1-19=89.(2)12×4+14×6+16×8+⋯+12018×2020=12×(12−14+⋯+12018−12020)=12×(12−12020)=10094040.类型3运算律解答规律问题通过阅读题目中给出的解题方法,设法将每个分数转化为两个分数的差,再将相邻的两个数互相抵消,从而使问题得到解决.综合素养拓训有理数是整个初中阶段最基础和最重要的内容之一,学习本章内容有助于培养数感和数学运算能力.数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟,建立数感有助于理解现实生活中数的意义,理解或表述具体情境中的数量关系.数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决问题的过程.数学运算是数学活动的基本形式,也是演绎推理的一种形式,是得到数学结果的重要手段,也是数学学科核心素养之一.1.[利用数字变化规律解决实际问题]一个容器装有1升水,按照如下要求把水倒出:第1次倒出12升水,第2次倒出的水量是12升的13,第3次倒出的水量是13升的14,第4次倒出的水量是14升的15⋯⋯按照这种倒水的方法,倒了10次后容器内剩余的水量是()A.18升B.19升C.110升D.111升答案1.D【解析】根据题意列出算式为1-12−12×13−13×14-⋯-110×111=1-12-(12−13)-(13−14)-⋯-(110−111)=1-12−12+13−13+14-⋯-110+111=111(升).故选D.2.规定一种运算:=ad-bc.例如:=2×5-3×4=-2,请你按照这种运算的规定,计算的值.答案2.【解析】根据题意,得=1×0.5-(-3)×2=0.5+6=6.5,(−1)202041.25−9=(-1)2020×(-9)-4×1.25=-9-5=-14.所以+(−1)202041.25−9=6.5-14=-7.5.3.阅读理解题:从左边第一个格子开始向右数,在每个小格子中都填入一个整数,使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等.(1)可知●=,○=,x=.(2)试判断第2019个格子中的数是多少,并给出相应的理由.(3)判断:前n个格子中所填整数之和是否可能为2020?若能,求出n的值;若不能,请说明理由.(4)若从前n个格子中任取两个数并用大数减去小数得到差值,而后将所有的这样的差值累加起来称为前n项的累差值.例如前3项的累差值为|1-●|+|1-○|+|●-○|.则前3项的累差值为.若取前10项,则前10项的累差值为多少?(请给出必要的计算过程)1●○x7-3⋯答案3.【解析】(1)7-31(2)第2019个格子中的数是-3.由于题格中的数依次是1,7,-3,1,7,-3,⋯,每3个数循环一次,而2019能被3整除,故第2019个数为-3.(3)能.由1+7+(-3)=5,而2020÷5=404,得n=404×3=1212.(4)20前10项的累差值为210.由于前10个数中1出现了4次,而7与-3各出现了3次,所以前10项的累差值为|1-7|×4×3+|1-(-3)|×4×3+|7-(-3)|×3×3=210.答案1.B一、选择题1.如果向北走2m,记作+2m,那么-5m表示()A.向东走5mB.向南走5mC.向西走5mD.向北走5m答案2.A2.下列每个选项中的两个数,互为相反数的是()A.4和-4B.-3和13C.|-2|和2D.|-2|和12答案3.A3.[2018浙江宁波中考]在-3,-1,0,1这四个数中,最小的数是()A.-3B.-1C.0D.1答案4.C【解析】A项,-(-3)=3,-|-3|=-3,所以A项不符合题意;B项,-22=-4,(-2)2=4,所以B项不符合题意;C项,(-2)3=-8,-23=-8,所以C项符合题意;D项,223=43,(23)2=49,所以D项不符合题意.故选C.4.下列各对数中,相等的一对数是()A.-(-3)与-|-3|B.-22与(-2)2C.(-2)3与-23D.223与(23)2答案5.B【解析】整数分为正整数、0和负整数,故①错误;0等于它的相反数,故②错误;如果a大于b,那么a的倒数不一定小于b的倒数,例如10,但是0没有倒数,不能说1的倒数小于0的倒数,所以⑤错误.故选B.5.给出下列说法:①整数分为正整数和负整数;②任何数都不等于它的相反数;③一个数的绝对值越大,它在数轴上表示的点离原点越远;④互为相反数的两个数的同一偶数次方相等;⑤如果a大于b,那么a的倒数小于b的倒数.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案6.D【解析】A项,(-5.8)-(-5.8)=(-5.8)+5.8=0,故A项错误;B项,-42÷14×4=-16×4×4=-256,故B项错误;C项,-23×(-3)2=-8×9=-72,故C项错误;D项,[(-5)2+4×(-5)]×(-3)2=5×9=45,故D项正确.故选D.6.[2020山东枣庄期中]下列各式中,计算正确的是()A.(-5.8)-(-5.8)=-11.6B.-42÷14×4=-16C.-23×(-3)2=72D.[(-5)2+4×(-5)]×(-3)2=45答案7.A【解析】由题中数轴知cb0a,且|b||a||c|,所以a+b0,a+c0,b-a0,bc0.故选A.7.有理数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,则下列结论正确的是()A.a+b0B.a+c=0C.b-a0D.bc0答案8.A【解析】由题意得,(-3)⊕4=-3×4-(-3)=-12+3=-9.故选A.8.定义新运算:a⊕b=ab-a.例如3⊕2=3×2-3=3.则(-3)⊕4=()A.-9B.12C.-15D.4答案9.1.2×1011二、填空题9.[2018黑龙江龙东地区中考]人民日报2018年2月23日报道,2017年黑龙江粮食总产量达到1203.76亿斤,成功超越1200亿斤,连续七年居全国首位,将1200亿斤用科学记数法表示为斤.10.如图是计算机计算程序,若开始输入x=-2,则最后输出的结果是.10.-17【解析】根据题意可知,(-2)×4-(-3)=-8+3=-5,再把-5代入计算,(-5)×4-(-3)=-20+3=-17-5,即-17为输出结果.答案11.2500米【解析】(24-4)÷0.8×100=20÷0.8×100=25×100=2500(米).11.在某地区,夏季高山上的温度从山脚起每升高100米平均降低0.8℃,已知山脚的温度是24℃,山顶的温度是4℃,这座山的高度是.12.已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,x的绝对值是2,则3x-(a+b+cd)x=.12.±4【解析】因为a,b互为相反数,c,d互为倒数,x的绝对值是2,所以a+b=0,cd=1,|x|=2,所以x=±2.当x=2时,3x-(a+b+cd)x=6-2=4;当x=-2时,3x-(a+b+cd)x=-6+2=-4.综上,3x-(a+b+cd)x=±4.答案13.【解析】(1)正数集合:{227,2019,⋯};(2)负数集合:{-4,-|-43|,-3.14,-(+5),⋯};(3)整数集合:{-4,0,2019,-(+5),⋯};(4)分数集合:{-|-43|,227,-3.14,⋯}.三、解答题13.把下列各数分别填入相应的集合中:-4,-|-43|,0,227,-3.14,2019,-(+5).(1)正数集合:{⋯};(2)负数集合:{⋯};(3)整数集合:{⋯};(4)分数集合:{⋯}.答案14.【解析】(1)100÷(-2)2-(-2)÷(-23)=100÷4-3=25-3=22.14.计算:(1)100÷(-2)2-(-2)÷(-23);(2)(-12)2+12×(23-|23-2|);(3)(-3.75)+2.85+(-114)+(-12)+3.15+(-2.5);(4)[212-(38+16−34)×24]÷5×(-1)2021.答案(2)(-12)2+12×(23-|23-2|)=14+12×(23-2+23)=14+12×(-23)=14−13=-112.(3)(-3.7