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分层练透教材，多重拓展培优第四章基本平面图形数学·七年级上册·北师课时学习区专题1直线、线段、角的计数问题专项素养拓训1.平面内不重合的两个点确定一条直线,不同的三个点最多确定3条直线,则平面内不同的10个点最多可以确定条直线.答案1.45【解析】不同的10个点中,每个点最多可以和其他9个点构成9条直线,共有10个点,且每个点被算了两次,所以直线总数最多为10×92=45(条).2.如图,在∠AOB内部以O为端点引一条射线,则图中共有个角,若在∠AOB内部以O为端点引n条射线,则图中共有个角.答案2.3(𝑛+1)(𝑛+2)2【解析】当引一条射线时,则图中共有3个角.当引n条射线时,加上射线OA,OB,共有(n+2)条射线,每条射线与其他(n+1)条射线构成(n+1)个角,且每个角被算了两次,故共有(𝑛+1)(𝑛+2)2个角.3.为丰富师生的课余生活,某地区的五所学校联合举行教师篮球赛和学生联谊活动,每校派一支教工篮球队,各派10名学生参加联谊活动.(1)若篮球赛采取单循环比赛(每两支队伍之间只进行一场比赛),则篮球赛共进行了场;(2)学生联谊活动中,全体同学制作了手工小礼品,活动结束,全体同学互赠手工小礼品(每两个同学之间都互赠,数量刚好够赠送),则本次活动共制作了件小礼品.答案3.(1)10;(2)2450【解析】(1)由题意,得5×42=10(场);(2)由题意得,50×(50-1)=2450(件).专题2线段的有关计算专项素养拓训4.如图,B,C两点把线段AD分成2∶5∶3的三部分,点M为AD的中点,BM=6,求CM和AD的长.答案4.【解析】由题意,设AB=2k,BC=5k,CD=3k,所以AD=AB+BC+CD=10k.因为点M为AD的中点,所以AM=12AD=5k,所以BM=AM-AB=3k.因为BM=6,所以3k=6,所以k=2,所以AD=10k=20,BC=5k=10,所以CM=BC-BM=4.5.[2020湖北武汉青山区期末]已知线段AB上有M,N两点,AB=18,AM∶BM=1∶2,MN=5,点C为BN的中点,求BC的长.答案5.【解析】因为AB=18,AM∶BM=1∶2,所以AM=6,BM=12.分两种情况:如图1,因为MN=5,所以BN=12-5=7,因为点C为BN的中点,所以BC=12BN=3.5.如图2,因为MN=5,所以BN=12+5=17,因为点C为BN的中点,所以BC=12BN=8.5.综上所述,BC=3.5或8.5.专题3与角平分线有关的问题专项素养拓训6.如图,直线AB与CD相交于点O,∠AOM=90°.(1)如图1,若OC平分∠AOM,求∠AOD的度数;(2)如图2,若∠BOC=4∠NOB,且OM平分∠NOC,求∠MON的度数.答案6.【解析】(1)因为∠AOM=90°,OC平分∠AOM,所以∠AOC=45°,所以∠AOD=180°-∠AOC=135°.(2)因为OM平分∠CON,所以∠MOC=∠MON.因为∠AOM=∠BOM=90°,所以∠AOC=∠BON.因为∠BOC=4∠NOB,∠AOC+∠BOC=180°,所以∠BON+4∠BON=180°,所以∠BON=36°,所以∠MON=90°-∠BON=54°.7.已知OE平分∠AOC,OF平分∠BOC.(1)如图1,若OA在∠BOC的外部,则∠AOB与∠EOF的数量关系是∠AOB=∠EOF;(2)如图2,若OA在∠BOC的内部,则(1)中的数量关系是否仍成立?若成立,请说明理由.答案7.【解析】(1)2(2)成立,理由如下:因为OE平分∠AOC,OF平分∠BOC,所以∠COE=12∠AOC,∠COF=12∠BOC,所以∠EOF=∠COF-∠COE=12∠BOC-12∠AOC=12(∠BOC-∠AOC)=12∠AOB,所以∠AOB=2∠EOF.8.已知,OM是∠AOC的平分线,ON是∠BOC的平分线.(1)如图1,当∠AOB是直角,∠BOC=60°时,∠MON的度数是多少?(2)如图2,当∠AOB=α,∠BOC=60°时,求∠MON与α的数量关系.(3)如图3,当∠AOB=α,∠BOC=β时,∠MON与α,β存在数量关系吗?如果有,请写出结论并说明理由.答案8.【解析】(1)因为∠AOB=90°,∠BOC=60°,所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°.因为OM是∠AOC的平分线,ON是∠BOC的平分线,所以∠COM=12∠AOC=75°,∠CON=12∠BOC=30°,所以∠MON=∠COM-∠CON=45°.(2)易知∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+60°.因为OM是∠AOC的平分线,ON是∠BOC的平分线,所以∠COM=12∠AOC=12α+30°,∠CON=12∠BOC=30°,所以∠MON=∠COM-∠CON=12α.答案(3)∠MON只和α有关,和β无关,∠MON=12α.理由如下:易知∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β.因为OM是∠AOC的平分线,ON是∠BOC的平分线,所以∠COM=12∠AOC=12α+12β,∠CON=12∠BOC=12β,所以∠MON=∠COM-∠CON=12α,所以∠MON只和α有关,和β无关,∠MON=12α.综合素养拓训本章引入基本平面图形,用点线刻画物体模型,是几何知识体系中最基本的内容之一,也是后续学习三角形、四边形等知识的基础.将线段、角等作为载体,通过与线段中点、角平分线等相关的计算问题,渗透转化思想、分类讨论思想、方程思想,增强运用图形思考问题的意识,提升数形结合能力.1.[2019山东济南市中区期末]【新知理解】如图1,点C在线段AB上,图中有三条线段,分别为线段AB,AC和BC,若其中一条线段的长度是另外一条线段的2倍,则称点C是线段AB的“巧点”.(1)线段的中点这条线段的“巧点”(填“是”或“不是”).(2)若线段AB=12cm,点C是线段AB的“巧点”,则AC=cm.【解决问题】(3)如图2,已知AB=12cm,动点P从点A出发,以2cm/s的速度沿AB向点B运动,点Q从点B出发,以1cm/s的速度沿BA向点A运动,点P,Q同时出发,当其中一点到达终点时,运动停止.设运动的时间为ts,当t为何值时,点P为线段AQ的“巧点”,并说明理由.答案1.【解析】(1)是(2)4,6或8①当AB=2AC时,AC=6cm;②当AC=2BC时,因为AC+BC=AB=12cm,所以AC=8cm;③当BC=2AC时,BC=8cm,AC=4cm.综上,AC=4cm,6cm或8cm.(3)由题意知,AP=2tcm,BQ=tcm,所以AQ=(12-t)cm,因为点P为AQ的“巧点”,所以点P在线段AQ上,①当AQ=2AP时,12-t=4t,所以t=125;②当AP=2PQ时,AP=23AQ,即2t=23(12-t),所以t=3;③当PQ=2AP时,AP=13AQ,即2t=13(12-t),所以t=127.所以当t为125,3或127时,点P为线段AQ的“巧点”.本题是一道“新定义”的题,做题的关键是要搞懂什么是“巧点”.由于一条直线上的三个点共构成了三条线段,而“巧点”只是两条线段的数量关系,所以这里需要进行分类讨论:哪两条线段满足“巧点”关系?哪条线段是另一条线段的2倍?2.[探究角之间的数量关系]如图,O为直线AB上一点,∠BOC=α.(1)如图1,若α=40°,OD平分∠AOC,∠DOE=90°,求∠AOE的度数;(2)如图2,若∠AOD=13∠AOC,∠DOE=60°,请用α表示∠AOE的度数;(3)如图3,若∠AOD=1𝑛∠AOC,∠DOE=180°𝑛(n≥2,且n为正整数),请用α和n表示∠AOE的度数.(直接写出结果)答案2.【解析】(1)因为∠BOC=40°,所以∠AOC=180°-∠BOC=140°,又因为OD平分∠AOC,所以∠AOD=∠DOC=12∠AOC=70°.因为∠DOE=90°,所以∠AOE=90°-70°=20°.(2)设∠AOD=x,则∠DOC=2x,∠BOC=180°-3x=α,所以x=180°−𝛼3,所以∠AOE=60°-x=60°-180°−𝛼3=13α.(3)∠AOE=𝛼𝑛.设∠AOD=y,则∠DOC=(n-1)y,∠BOC=180°-ny=α,所以y=180°−𝛼𝑛,所以∠AOE=180°𝑛−180°−𝛼𝑛=𝛼𝑛.答案1.C【解析】因为一副三角尺有30°,45°,60°,90°,所以能用三角尺画出30°,60°,75°.故选C.一、选择题1.用一副三角尺可以画出许多不同的角度,以下角度不能用三角尺画出的是()A.75°B.60°C.40°D.30°答案2.B【解析】因为∠BAF=60°,所以∠FAD=90°-60°=30°.因为∠DAE=∠FAE,所以∠DAE=12×30°=15°.故选B.2.如图,长方形ABCD沿AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,如果∠BAF=60°,那么∠DAE等于()A.10°B.15°C.20°D.30°答案3.A【解析】如图,因为A岛在C岛的北偏西15°方向,所以∠1=15°.因为∠ACB=90°,所以∠2=180°-∠1-∠ACB=180°-15°-90°=75°,故B岛在C岛的南偏西75°方向.故选A.3.如图,一张地图上标记了A,B,C三个小岛,已知A岛在C岛的北偏西15°方向,若∠ACB=90°,则B岛在C岛的()A.南偏西75°方向B.南偏西65°方向C.南偏西60°方向D.南偏西30°方向答案4.C【解析】因为BC=12AB,所以BC=13AC.因为D为线段AC的中点,所以CD=12AC,所以BD=16AC.因为BD=2,所以AC=2×6=12,所以AB=AD+BD=12AC+BD=12×12+2=8.故选C.4.[2020浙江杭州期末]如图,将线段AB延长至点C,使BC=12AB,D为线段AC的中点,若BD=2,则线段AB的长为()A.4B.6C.8D.12答案5.96【解析】因为∠BOC=120°,所以甲、丙两个扇形的圆心角的度数和为240°,因为甲、丙两个扇形的面积之比为3∶2,所以∠AOC=240°×23+2=96°.二、填空题5.[2020山东青岛崂山区期末]如图,将一个圆分割成三个扇形,若甲、丙两个扇形的面积之比为3∶2,∠BOC=120°,则∠AOC=°.答案6.36【解析】由∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD知∠AOB=∠COD,设∠AOB=2α,则∠AOD=7α,故∠AOB+∠BOC=∠AOD-∠COD=7α-2α=5α=90°,解得α=18°,故∠COD=36°.6.如图,∠AOC与∠BOD都是直角,且∠AOB∶∠AOD=2∶7,则∠COD=°.答案7.22.5【解析】因为时钟指示14时15分时,分针指到3,时针指到2与3之间的某个位置,时针从2到这个位置经过了15分钟,时针每分钟转0.5°,所以转过7.5°,所以时针和分针所成的锐角是30°-7.5°=22.5°.7.[2020四川遂宁安居区期末]已知某学校下午上课的时间为14时15分,则此时刻时钟上的时针与分针的夹角为°.答案8.180或144【解析】因为AP∶BP=4∶5,所以设AP=4x(x0)cm,BP=5xcm,则AB=9xcm.因为剪断后的各段绳子中最长的一段为80cm,所以8x=80或10x=80,解得x=10或x=8,则18x=180或144,所以绳子的原长为180cm或144cm.8.[2020湖北武汉江汉区期末]如图,把一根绳子对折后得到的图形为线段AB,从点P处把绳子剪断,若AP∶BP=4∶5,剪断后的各段绳子中最长的一段为80cm,则绳子的原长为cm.答案9.【解析】(1)如图所示.(2)因为DE=AC,DE=3,所以AC=3.因为点C是线段AB的中点,BD=AB,所以BD=AB=2AC=6,所以BE=BD+DE=6+3=9.(3)CD=BE.理由如下:因为C是线段AB的中点,所以CB=AC,又因为DE=AC,所以CB=DE,所以CB+BD=DE+BD,即