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专题(二)乘法公式的灵活运用类型一变形乘法公式求式子的值1．若a－b＝1，ab＝2，则(a＋b)2＝9.2．已知(a＋b)2＝25，(a－b)2＝9，求ab与a2＋b2的值．解：因为(a＋b)2＝25，(a－b)2＝9，所以a2＋2ab＋b2＝25①，a2－2ab＋b2＝9②，所以①＋②，得2a2＋2b2＝34，所以a2＋b2＝17，①－②，得4ab＝16，所以ab＝4.3．已知a＋b＝1，ab＝－6，求下列各式的值：(1)a2＋b2；(2)a2－ab＋b2.解：(1)因为a＋b＝1，ab＝－6，所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝1，所以a2＋b2＝1－2ab＝13.(2)a2－ab＋b2＝a2＋b2－ab＝13－(－6)＝19.4．已知x－1x＝3，求x2＋1x2和x4＋1x4的值．解：因为x－1x＝3，(x－1x)2＝x2＋1x2－2，所以x2＋1x2＝(x－1x)2＋2＝32＋2＝11，x4＋1x4＝(x2＋1x2)2－2＝112－2＝119.类型二巧用乘法公式简便计算5．计算：(1)9982；解：原式＝(1000－2)2＝10002－2×1000×2＋22＝996004.(2)20162－2014×2018；解：原式＝20162－(2016－2)×(2016＋2)＝20162－(20162－22)＝4.(3)1－122×1－132×1－142×…×1－192×1－1102；解：原式＝1－12×1＋12×1－131＋13×…×1－1101＋110＝12×32×23×…×910×1110＝12×1110＝1120.(4)(5＋1)(52＋1)(54＋1)(58＋1)．解：原式＝14×(5－1)(5＋1)(52＋1)(54＋1)(58＋1)＝14×(52－1)(52＋1)(54＋1)(58＋1)＝516－14.类型三巧用乘法公式化简求值6．先化简，再求值：(1)(1＋a)(1－a)＋(a－2)2，其中a＝－3；解：原式＝1－a2＋a2－4a＋4＝5－4a.当a＝－3时，原式＝5＋12＝17.(2)(3＋x)(3－x)＋(x＋1)2，其中x＝2；解：原式＝2x＋10.当x＝2时，原式＝2×2＋10＝14.类型四巧用乘法公式解决整除问题7．已知n为整数，试说明(n＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除．解：(n＋7)2－(n－3)2＝(n＋7＋n－3)(n＋7－n＋3)＝20(n＋2)，所以(n＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除．(3)(x＋2y)2－(x－2y)2－(x＋2y)(x－2y)－4y2，其中x＝－2，y＝12.解：原式＝－x2＋8xy.当x＝－2，y＝12时，原式＝－(－2)2＋8×(－2)×12＝－12.类型五巧用乘法公式判断结果的个位数字8．求(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1的个位数字．解：原式＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1＝264－1＋1＝264；因为21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，个位数按照2，4，8，6依次循环，而64＝16×4，所以原式的个位数为6.类型六巧用乘法公式解决实际问题9．解放街幼儿园有一块游戏场和一个葡萄园，所占地的形状都是正方形，面积也相同，后来重新改建，扩大了游戏场，缩小了葡萄园，扩大的游戏场仍为正方形，边长比原来增多了3米，缩小后的葡萄园也为正方形，边长比原来减少了2米，设它们原来的边长均为x米，请表示出扩大后的游戏场比缩小后的葡萄园的面积多多少平方米，并计算当x＝12时的值．解：(x＋3)2－(x－2)2＝x2＋6x＋9－x2＋4x－4＝10x＋5，当x＝12时，原式＝120＋5＝125.