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第五章生活中的轴对称专题(四)利用“三线合一”解题类型一求线段的长或角的度数1．已知：如图，房屋顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋檐AB＝AC.求顶架上的∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数．解：∠B＝∠C＝40°∠BAD＝∠CAD＝50°2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB＝BC，DE⊥AB于点E，若CD＝4，且△BDC的周长为24，求AE的长．解：7类型二说明线段或角相等3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.试说明：DE＝DF.解：连接AD.因为AB＝AC，BD＝CD，所以AD是等腰三角形底边BC上的中线，又是顶角的平分线．又因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE＝DF4．如图，在△ABC上，AB＝AC，D是BC的中点，点E在AD上．试说明：BE＝CE.解：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴BD＝CD，AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△EBD和△ECD中，∵BD＝CD，∠EDB＝∠EDC，ED＝ED(公共边)，∴△EBD≌△ECD(SAS)．∴BE＝CE(全等三角形的对应边相等)5．如图，在等腰三角形ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F.试说明：(1)∠CAE＝∠CBF；(2)AE＝BF.解：(1)∵△ABC是等腰三角形，CH是底边上的高线，∴AC＝BC，∠ACP＝∠BCP.又∵CP＝CP，∴△ACP≌△BCP(SAS)．∴∠CAP＝∠CBP，即∠CAE＝∠CBF(2)在△ACE与△BCF中，∵∠ACE＝∠BCF，AC＝BC，∠CAE＝∠CBF，∴△ACE≌△BCF(ASA)．∴AE＝BF.类型三说明两线垂直6．如图，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，CF＝DF.试说明：AF⊥CD.解：连接AC，AD，因为AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，所以△ABC≌△AED(SAS)，所以AC＝AD.又因为CF＝DF，所以AF⊥CD.7．如图，△ABC中，D是AB上一点，且BD＝BC，CE＝DE.试说明：CD⊥BE.解：在△BCE和△BDE中，BE＝BE，BC＝BD，CE＝DE，∴△BCE≌△BDE(SSS)，∴∠CBE＝∠DBE.又∵BD＝BC，∴CD⊥BE.8．已知：如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．试说明：AD垂直平分EF.解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△AED≌△AFD，∴AE＝AF，∴AD垂直平分EF.类型四说明角的倍半关系9．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.试说明：∠DBC＝12∠BAC.提示：要说明∠DBC＝12∠BAC，只要作出∠BAC的平分线，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质即可说明类型五说明线段的倍半关系10．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D.试说明：BF＝2CD.解：延长BA，CD交于点E.因为BF平分∠ABC，CD⊥BD，BD＝BD，所以△BDC≌△BDE，所以BC＝BE，DE＝DC.又因为∠BAC＝90°，∠AFB＝∠DFC，所以∠ABF＝∠DCF.又AB＝AC，∠BAF＝∠CAE，所以△ABF≌△ACE(ASA)，即BF＝CE，故BF＝2CD.类型六说明线段的和差关系11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C.试说明：CD＝AB＋BD.解：以A为圆心，AB他为半径画弧交CD于点E，连接AE，则AE＝AB，即∠AEB＝∠ABC.因为AD⊥BC，所以AD是BE边上的中线，即DE＝BD.又因为∠ABC＝2∠C，所以∠AEB＝2∠C.而∠AEB＝180°－∠AEC＝∠CAE＋∠C，所以∠CAE＝∠C.过点E作EF⊥AC于点F，易知△AEF≌△CEF，则CE＝AE＝AB，故CD＝AB＋BD.