专题06三角形求角度模型之三角形内外角平分线交角备战2021中考数学解题方法系统训练

专题06:第2章三角形求角度模型之三角形内外角平分线交角学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．如图，在△ABC中，A70，如果ABC与ACB的平分线交于点D，那么BDC∠＝_________度．2．如图，在ABC中，80ABC，50ACB，BP平分ABC，CP平分ACB，则BPC______.3．（2018育才单元考）如图，在△ABC中，ABC和ACD的角平分线交于点1A，得1A，1ABC和ACD1的角平分线交于点A2，得A2，……，1nABC和nACD1的角平分线交于点nA，得nA（1）若80A，则1A_______，2A________，3A________（2）若Am，则2015A________．4．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________．二、解答题5．在△ABC中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC为3倍角三角形．（1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则△ABC为倍角三角形；（2）若锐角三角形MNP是3倍角三角形，且最小内角为α，请直接写出α的取值范围为．（3）如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，若△AEF为4倍角三角形，求∠ABO的度数．6．在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．求∠BDC的大小（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F，求∠BFC的大小（用含α的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的平分线与∠GCB的平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．7．如图1，△ABC的外角平分线交于点F．（1）若∠A＝40°，则∠F的度数为；（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M，N，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A与α+β的数量关系是；（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由；②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．8．（1）如图1所示，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，试说明：∠D=90°+12∠A．（2）探究，请直接写出下列两种情况的结果，并任选一种情况说明理由：①如图2所示，BD，CD分别是△ABC两个外角∠EBC和∠FCB的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系；②如图3所示，BD，CD分别是△ABC一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系．9．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．10．（问题背景）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；（简单应用）（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度数；（问题探究）（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．（拓展延伸）（4）①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为：（用α、β表示∠P）；②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．参考答案1．125【解析】【分析】先利用三角形内角和定理求出ABCACB的度数，进而可求DBCDCB的度数，最后再利用三角形内角和定理即可求出答案．【详解】70A，180110ABCACBA．∵BD平分ABC，CD平分ACB，1()552DBCDCBABCACB，180()125BDCDBCDCB．故答案为：125．【点评】本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握角平分线的定义和三角形内角和定理是解题的关键．2．115【解析】【分析】先根据角平分线的性质求出PBCPCB的度数，再利用三角形内角和定理即可求解.【详解】解：∵BP平分ABC，CP平分ACB，∴1(8050)652PBCPCB，∴18065115BPC.【点评】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理.熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.3．40°20°10°20152m【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A1=12∠A，进而可求∠A1，同理易证∠A2=12∠A1，∠A3=12∠A2，进而可求∠A2和∠A3；（2）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A1=12∠A，进而可求∠A1，同理易证∠A2=12∠A1，∠A3=12∠A2，…，以此类推可知∠A2015即可求得．【详解】解：（1）∵∠A=∠ACD－∠ABC，∠A1=∠A1CD－∠A1BC∵ABC和ACD的角平分线交于点1A，80A∴∠A1CD=12∠ACD，∠A1BC=12∠ABC∴∠A1=∠A1CD－∠A1BC=12∠ACD－12∠ABC=12（∠ACD－∠ABC）=12∠A=40°同理可证：∠A2=12∠A1=20°，∠A3=12∠A2=10°故答案为：40°；20°；10°．（2）∵∠A=∠ACD－∠ABC，∠A1=∠A1CD－∠A1BC∵ABC和ACD的角平分线交于点1A，Am∴∠A1CD=12∠ACD，∠A1BC=12∠ABC∴∠A1=∠A1CD－∠A1BC=12∠ACD－12∠ABC=12（∠ACD－∠ABC）=12∠A=2m°同理可证：∠A2=12∠A1=22m°，∠A3=12∠A2=32m°∴∠A2015=20152m°故答案为：20152m°．【点评】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1=12∠A，并依此找出规律．4．15°【解析】【分析】先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=12∠MBC，∠1=12∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=12（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F=12∠E．【详解】解：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A）=12×（180°-60°）=60°，∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°，∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，∴∠5+∠6=12∠MBC，∠1=12∠NCB，∴∠5+∠6+∠1=12（∠NCB+∠NCB）=150°，∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°，∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，∴2∠F=∠E，∴∠F=12∠E=12×30°=15°．故答案为：15°．【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质．5．（1）2；（2）22.5°＜α＜30°；（3）45°或36°【解析】【分析】（1）由∠A＝80°，∠B＝60°，可求∠C的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案，（2）△DEF是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答，（3）首先证明∠EAF＝90°，分两种情形分别求出即可．【详解】解：（1）∵∠A＝80°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，∴∠A＝2∠C，∴△ABC为2倍角三角形，故答案为：2；（2）∵最小内角为α，∴3倍角为3α，由题意可得：3α＜90°，且180°﹣4α＜90°，∴最小内角的取值范围是22.5°＜α＜30°．故答案为22.5°＜α＜30°．（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠AOG，∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG，∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝12（∠BAO+∠OAG）＝90°，∵△EAF是4倍角三角形，∴∠E＝14×90°或15×90°，∵AE平分∠BAO，OE平分∠BOQ，∴∠E＝12∠ABO，∴∠ABO＝2∠E，∴∠ABO＝45°或36°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，余角的意义，不等式组的解法和应用等知识，读懂新定义n倍角三角形的意义和分类讨论是解题的基础和关键．6．（1）∠BDC＝90°+2；（2）∠BFC＝2；（3）∠BMC＝90°+4．【解析】【分析】（1）由三角形内角和可求∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，由角平分线的性质可求∠DBC+∠BCD＝12（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣2，由三角形的内角和定理可求解；（2）由角平分线的性质可得∠FBC＝12∠ABC，∠FCE＝12∠ACE，由三角形的外角性质可求解；（3）由折叠的性质可得∠G＝∠BFC＝2，方法同（1）可求∠BMC＝90°+2G，即可求解.【详解】解：（1）∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC＝12∠ABC，∠BCD＝12∠ACB，∴∠DBC+∠BCD＝12（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣2，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）＝90°+2；（2）∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F，∴∠FBC＝12∠ABC，∠FCE＝12∠ACE，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠FCE＝∠BFC+∠FBC，∴∠BFC＝12∠A＝2；（3）∵∠GBC的平分线与∠GCB的平分线交于点M，∴方法同（1）可得∠BMC＝90°+2G，∵将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∴∠G＝∠BFC＝2，∴∠BMC＝90°+4.【点评】此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，角平分线的性质定理，折叠的性质.7．（1）70°（2）1902A（3）①见解析