专题10全等三角线中的辅助线做法及常见题型之中位线备战2021中考数学解题方法系统训练

专题10：第三章全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之中位线一、单选题1．如图，在菱形ABCD中，边长AB=4，∠A=60°，E、F为边BC、CD的中点，作菱形CEGF，则图中阴影部分的面积为（）A．16B．12C．83D．632．平面直角坐标系内一点2,3P关于原点对称点的坐标是（）A．3,2B．2,3C．2,3D．2,3二、填空题3．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝____．4．梯形ABCD中，点E，F，G分别是BD，AC，DC的中点，已知：两底差是3，两腰的和是6，则△EFG的周长是______________．5．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，则∠ADC的度数为________．6．如图，将RtABC绕点C按顺时针方向旋转90°到''ABC的位置，已知斜边10ABcm,6BCcm,设''AB的中点是M,连接AM，则AM_____cm．7．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，E为AC上一点，BE平分∠ABO，EF⊥BC于点F，∠CAD=45°，EF交BD于点P，BP=5，则BC的长为_______．8．如图，正方形ABCD的边长为2，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BE＝CF，AE与BF相交于点P．若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于_____．三、解答题9．如图，在四边形ABCD中，ADBC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别AD、BC的延长线交于点H、G，求证：AHFBGF．10．如图所示，ABC中，2BA，CDAB于D，E为AB的中点，求证：2BCDE.11．如图，正方形ABCD的边长为4，E是线段AB延长线上一动点，连结CE．（1）如图1，过点C作CF⊥CE交线段DA于点F．①求证：CF=CE；②若BE=m（0＜m＜4），用含m的代数式表示线段EF的长；（2）在（1）的条件下，设线段EF的中点为M，探索线段BM与AF的数量关系，并用等式表示．（3）如图2，在线段CE上取点P使CP=2，连结AP，取线段AP的中点Q，连结BQ，求线段BQ的最小值．12．如图，在菱形ABCD中，60ABC，点E、F分别为边BC、DC的中点，连接EF，求证：3EFBE．参考答案1．D【解析】【分析】构造辅助线，求得BG，CG的长，利用三角形中位线定理证得~ECFBCD,求得134ECFBCDSS，从而求得阴影部分的面积．【详解】设菱形ABCD的对角线相交于G，∵AB=4，∠A=60°，∴AB=BC=CD=DA=4，∠A=∠C=60°，∴BCD为边长为4的等边三角形，∴∠DCG=∠BCG=30，4BDBC，∴122BGBC，323CGBG，243ACCG，∴1432BCDSBDCG，ABCD1832SACBD菱形，∵E、F为边BC、CD的中点，∴EF∥BD，EF=12BD=2，∴~ECFBCD,∴134ECFBCDSS，∴ABCD2832363ECFSSS阴影菱形．故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的面积，三角形中位的性质，相似三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造出等边三角形是解题的关键，也是本题的突破点．2．D【解析】【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点A（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）,故选D．【点评】本题主要考查点关于原点对称的特征，解决本题的关键是要熟练掌握点关于原点对称的特征.3．13【解析】【分析】连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，由中位线定理可得NF、MF的长度，再根据勾股定理求出MN的长度即可．【详解】连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，如图所示∵M、N、F分别是AB、DE、BD的中点∴NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线∴11//,//,5,1222NFBEMFADNFBEMFAD∵90ACB∴ADBC∵//MFAD∴MFBC∵//NFBE∴NFMF在RtMNF△中，由勾股定理得222251213MNNFMF故答案为：13．【点评】本题考查了三角形中位线的问题，掌握中位线定理、勾股定理是解题的关键．4．92【解析】【分析】连接AE，并延长交CD于K，利用“AAS”证得△AEB≌△KED，得到DK=AB，可知EF，EG、FG分别为△AKC、△BDC和△ACD的中位线，由三角形中位线定理结合条件可求得EF+FG+EG，可求得答案．【详解】连接AE，并延长交CD于K，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DKE，∠ABD=∠EDK，∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．∴BE=DE，在△AEB和△KED中，BAEDKEABDEDKBEDE，∴△AEB≌△KED（AAS），∴DK=AB，AE=EK，EF为△ACK的中位线，∴EF=12CK=12(DC-DK)=12(DC-AB)，∵EG为△BCD的中位线，∴EG=12BC，又FG为△ACD的中位线，∴FG=12AD，∴EG+GF=12(AD+BC)，∵两腰和是6，即AD+BC=6，两底差是3，即DC-AB=3，∴EG+GF=3，FE=32，∴△EFG的周长是3+32=92．故答案为：92．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，作出常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键．5．135°【解析】【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝4，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可．【详解】解：连接BD，∵E、F分别是边AB、AD的中点，EF＝2，∴EF∥BD，BD＝2EF＝4，∴∠ADB＝∠AFE＝45°，又∵BC＝5，CD＝3，∴BD2+CD2＝25，BC2＝25，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°，故答案为：135°．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，熟练掌握中位线定理并作出正确的辅助线是解决本题的关键．6．41【解析】【分析】作MH⊥AC于H，根据垂直平分线的性质可得HM的大小，又因为B′H=3，HM=4；计算可得AH的值，根据勾股定理可得AM的大小．【详解】作MH⊥AC于H，因为M为A′B′的中点，故HM=12A′C，又因为A′C=AC=22106=8，则HM=12A′C=12×8=4，B′H=3，又因为AB′=8-6=2，所以AH=3+2=5，AM=22514=4cm．故答案为：41．【点评】根据图形的翻折不变性，结合勾股定理和中位线定理解答．7．4【解析】【分析】过点E作EM∥AD，由△ABO是等腰三角形，根据三线合一可知点E是AO的中点，可证得EM=12AD=12BC，根据已知可求得∠CEF=∠ECF=45°，从而得∠BEF=45°，△BEF为等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=12BC，因此可证明△BFP≌△MEP（AAS），则EP=FP=12FC，在Rt△BFP中，利用勾股定理可求得x，即得答案．【详解】过点E作EM∥AD，交BD于M，设EM=x，∵AB=OB，BE平分∠ABO，∴△ABO是等腰三角形，点E是AO的中点，BE⊥AO，∠BEO=90°，∴EM是△AOD的中位线，又∵ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2EM=2x，∵EF⊥BC，∠CAD=45°，AD∥BC，∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，∴△EFC为等腰直角三角形，∴EF=FC，∠FEC=45°，∴∠BEF=90°-∠FEC=45°，则△BEF为等腰直角三角形，∴BF=EF=FC=12BC=x，∵EM∥BF，∴∠EMP=∠FBP，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF，则△BFP≌△MEP（ASA），∴EP=FP=12EF=12FC=12x，∴在Rt△BFP中，222BPBFPF，即：2221(5)()2xx，解得：2x，∴BC=2x=4，故答案为：4．【点评】考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三线合一的应用，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理求三角形边长，熟记图形的性质定理是解题的关键．8．101【解析】【分析】作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连接PQ与CD交于点N'，连接PH，HQ，当H、P、N'、Q四点共线时，MN+NP＝PQ的值最小，根据勾股定理HQ，再证明△ABE≌△BCF，进而得△APB为直角三角形，由直角三角形的性质，求得PH，进而求得PQ．【详解】解：作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连接PQ与CD交于点N'，连接PH，HQ，则MN'＝QN'，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，在△ABE和△BCF中，ABBCABEBCFBECF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠AEB＝∠BFC，∵AB∥CD，∴∠ABP＝∠BFC＝∠AEB，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴PH＝112AB，∵M点是BC的中点，∴BM＝MC＝CQ＝112BC，∵PH+PQ≥HQ，∴当H、P、Q三点共线时，PH+PQ＝HQ＝22221310BHBQ的值最小，∴PQ的最小值为101，此时，若N与N'重合时，MN+PN＝MN'+PN'＝QN'+PN'＝PQ＝101的值最小，故答案为101．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，关键是确定BM+MN取最小值时P与N的位置．9．证明见解析【解析】【分析】连接BD，取BD的中点，连接EP，FP，根据三角形中位线定理即可得到PF=12AD，PF∥AD，EP=12BC，EP∥BC，进而得出∠AHF=∠BGF．【详解】解：如图所示，连接BD，取BD的中点，连接EP，FP，∵E、F分别是DC、AB边的中点，∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线，∴PF=12AD，PF∥AD，EP=12BC，EP∥BC，∴∠H=∠PFE，∠BGF=∠FEP，又∵AD=BC，∴PE=PF，∴∠PEF=∠PFE，∴∠AHF=∠BGF．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理的运用，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．10．见解析【解析】【分析】取AC中点F，连接EF、DF，则EF为△ABC的中位线，结合条件可得到∠FEA=2∠A，结合直角三角形的性质可得到∠FDE=∠EFD，得到DE=EF，可得出结论．【详解】证明：取AC的中点F，连EF，DF，则EF为中位线，∴EF‖BC，BC=2EF，∴∠FEA=∠B=2∠A，在直角三角形ACD中，F是斜边BC的中点，∴DF=CF=AF，∴∠FDA=∠A，即有2∠FDA=∠FEA，∵∠FEA=∠FDA+∠DFE，∴∠DFE=∠FDA，∴DE=EF，∴BC=2DE．【点评】本题考查了三角形中位线的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键.11．（1）①详见解析；②；（2）BM=AF；（3）【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质以及余角的性质即可证明△DCF≌△BCE，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论；②根据全等三角形的性质可得DF=BE=m．在Rt△ECF中，由勾股定理即可得出结论；（2）在直线AB上取一点G，使BG=BE，由三角形中位线定理可