专题12全等三角线中的辅助线做法及常见题型之截长补短备战2021中考数学解题方法系统训练

专题12：第三章全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之截长补短一、单选题1．如图，在ABC中，68BAC，36C，AD平分BAC，M、N分别是AD、AB上的动点，当BMMN最小时，BMN的度数为()A．34B．68C．76D．902．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（）A．AB＞AD+BCB．AB＜AD+BCC．AB＝AD+BCD．无法确定3．如图，四边形ABCD中，90BCD，BD平分ABC，8AB，13BD，12BC，则四边形ABCD的面积为（）A．30B．40C．50D．60二、填空题4．如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别在CA、BA的延长线上，连接BD、CE，且∠D+∠E=180°，若BD=6，则CE的长为__．5．如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分线，延长BD至点E，使得DE=DA，则∠ECA=________．6．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且10DEcm，45EAF，△EFC的周长为80cm，则EF_________cm．7．（1）如图（1），在四边形ABCD中，ABAD,180BD，E，F分别是,BCCD上的动点，且12EAFBAD，求证：EFBEDF．（2）如图（2），在（1）的条件下，当点E，F分别运动到,BCCD的延长线上时，,,EFBEDF之间的数量关系是______．8．如图，已知ABC中，60A，D为AB上一点，且2,4ACADBDBACD，则DCB的度数是_________．9．如图，在ABC中，D是BC边中点，106ABAC，，4AD，则BC的长是_____________．10．如图，四边形ABCD为正方形，点E在CB的延长线上，AF平分∠DAE交DC的延长线于点F，若BE=8，CF=9，则CD的长为______．三、解答题11．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为菱形ABCD内对角线BD左侧一点，连接BE、CE、DE．（1）若AB＝6，求菱形ABCD的面积；（2）若∠BED＝2∠A，求证：CE＝BE+DE．12．如图，四边形ABCD为矩形，F为对角线BD上一点，过点F作FEBD交AD于点H，交BA的延长线于点E，连接AF，当FDFE时，求证：2AHABAF．13．如图，在正方形ABCD中，点E、F均为中点，连接AF、DE交于点P，连接PC，证明：2PEPFPC．14．如图，BE是⊙O的直径，弦AC交BE于点D，连接AB，AE，若45BAC，求证：2ABAEAC．15．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M，点G是线段CE上一点，且CO=CG．（1）若OF=4，求FG的长；（2）求证：BF=OG+CF．参考答案1．B【解析】【分析】在AC上截取AE=AN，先证明△AME≌△AMN（SAS），推出ME=MN．当B、M、E共线，BE⊥AC时，BM+ME最小，可求出∠NME的度数，从而求出∠BMN的度数．【详解】如图，在AC上截取AE=AN，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠EAM=∠NAM，在△AME与△AMN中，AEANEAMNAMAMAM＝＝＝，∴△AME≌△AMN（SAS），∴ME=MN．∴BM+MN=BM+ME，当B、M、E共线，BE⊥AC时，BM+ME最小，∴MN⊥AB∵∠BAC=68°∴∠NME=360°-∠BAC-∠MEA-∠MNA=360°-68°-90°-90°=112°，∴∠BMN=180°-112°=68°．故选：B．【点评】本题考查了轴对称-最短问题，解题的关键是能够通过构造全等三角形，把BM+MN进行转化，利用垂线段最短解决问题．2．C【解析】【分析】在AB上截取AF＝AD，连接EF，易得∠AEB=90°和△ADE≌△AFE，再证明△BCE≌△BFE，利用全等三角形对应边相等即可得出三条线段之间的关系.【详解】解：如图所示，在AB上截取AF＝AD，连接EF，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠DAB=180°，又∵BE平分∠ABC，AE平分∠DAB∴∠ABE+∠EAB=1ABCDAB2=90°，∴∠AEB=90°即∠2+∠4=90°，在△ADE和△AFE中，AD=AFDAE=FAEAE=AE∴△ADE≌△AFE（SAS），所以∠1＝∠2，又∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，所以∠3＝∠4，在△BCE和△BFE中，CBE=FBEBE=BE3=4∴△BCE≌△BFE（ASA），所以BC＝BF，所以AB＝AF+BF＝AD+BC；故选：C．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，截长补短是证明线段和差关系的常用方法.3．C【解析】【分析】由题意在BC上截取一点E使得BE=BA,并连接DE，证得()ABDEBDSAS进而求出CEDS△和EBDS即可求出四边形ABCD的面积．【详解】解：由题意在BC上截取一点E使得BE=BA,并连接DE，∵BD平分ABC，∴ABDEBD，∵BEBAABDEBDBDBD，∴()ABDEBDSAS,ABDEBDSS,∵90BCD，8AB，13BD，12BC，∴222213125CDBDBC,∴11(128)51022CEDSCECD,112510202EBDCBDCEDSSS,∴四边形ABCD的面积为:22201050EBDCEDSS;故选：C．【点评】本题考查四边形综合问题，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及勾股定理和角平分线性质是解题的关键．4．6【解析】【分析】在AD上截取AF=AE，连接BF，易得△ABF≌△ACE，根据全等三角形的性质可得∠BFA=∠E，CE=BF，则有∠D=∠DFB，然后根据等腰三角形的性质可求解．【详解】解：在AD上截取AF=AE，连接BF，如图所示：AB=AC，∠FAB=∠EAC，ABFACE≌△△，BF=EC，∠BFA=∠E，∠D+∠E=180°，∠BFA+∠DFB=180°，∠DFB=∠D，BF=BD，BD=6，CE=6．故答案为6．【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．5．40°【解析】【分析】在BC上截取BF=AB，连接DF，由题意易得∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，易得△ABD≌△FBD，进而可得DF=AD=DE，由此可证△DEC≌△DFC，然后根据全等三角形的性质、三角形内角和及外角的性质可求解．【详解】解：在BC上截取BF=AB，连接DF，∠ACB=∠ABC=40°，BD是∠ABC的角平分线，∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，∠ADB=60°，∠BDC=120°，BD=BD，△ABD≌△FBD，DE=DA，DF=AD=DE，∠BDF=∠FDC=∠EDC=60°，∠A=∠DFB=100°，DC=DC，△DEC≌△DFC，1006040DCBDCEDFCFDC；故答案为40°．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定条件及外角性质是解题的关键．6．34【解析】【分析】延长CB到H，使BH=DE，连接AH，可证△ADE≌△ABH，可得AE=AH，由∠EAF=45º可证得∠HAF=45º，进而可证得△HAF≌△EAF，可得EF=HF，由△EFC的周长可求得正方形的边长，设EF=x，在Rt△ECF中，利用勾股定理列方程即可求得EF的长．【详解】如图延长CB到H，使BH=DE=10cm，连接AH，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠ABH=∠DAB=90º，AB=AD=BC=CD，∴△ADE≌△ABH（SAS)，∴AE=AH,∠DAE=∠BAH，∵∠EAF=45º，∴∠DAE+∠BAF=45º，∴∠BAH+∠BAF=45º即∠HAF=45º，∴∠HAF=∠EAF又AH=AE,AF=AF，∴△HAF≌△EAF(SAS)，∴HF=EF，∵△EFC的周长为80cm，∴CE+CF+EF=CE+CF+HF=CE+DE+CF+BF=BC+CD=2BC=80,∴BC=40cm,设EF=x，则CF=40+10-x=50-x，在Rt△ECF中，CE=40-10=30cm，由勾股定理得：222(50)30xx，解得：x=34，即EF=34cm，故答案为：34．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答的关键是认真分析，找到相关信息的关联点，结合图形，进行推理、计算．7．（1）详见解析；（2）EFBEDF【解析】【分析】（1）延长FD到点G，使DGBE，连接AG，先证明()ABEADGSAS≌，得到AEAGBAEDAG，，然后证明AEFAGF≌，得到EFFG，根据FGDGDFBEDF，可得EFBEDF；（2）在BC上截取BGDF，连接AG，先证明△ABG≌△ADF（SAS），得到AG=AF，∠BAG=∠DAF，再证明△EAG≌△EAF（SAS），得到EG=EF，根据BG=DF，即可得EF=BE-BG=BE-DF．【详解】（1）如图，延长FD到点G，使DGBE，连接AG．180BADFADGADF，BADG，又ABAD，BEDG，∴()ABEADGSAS≌，,AEAGBAEDAG，12EAFBAD，GAFDAGDAFBAEDAFBADEAFEAF．,,AEAGEAFGAFAFAF，∴AEFAGF≌，EFFG．FGDGDFBEDF，EFBEDF；（2）EFBEDF．如图，在BC上截取BGDF，连接AG，180BADCADCADF，BADF，在△ABG和△ADF中ABADBADFBGDF∠∠，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，∠BAD=2∠EAF，∴∠BAG+∠GAE+∠EAD=∠EAD+∠DAF+∠EAD+∠DAF，∴∠GAE=∠EAF，在△EAG和△EAF中AGAFEAGEAFAEAE∠∠，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴EG=EF，∵BG=DF，∴EF=BE-BG=BE-DF．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握判定定理是解题关键．8．20°【解析】【分析】通过作辅助线构造直角三角形，利用等边三角形的性质，得到角相等，边相等，根据三角形全等，得到角相等，利用外角的性质列方程求解；【详解】解：如图，延长AB至点E使BEAD，连接CE．∴2AEADDBBEADBD．∵2ACADBD，∴AEAC．∵60A，∴AEC是等边三角形，∴60EACE．∵4ABCACD，∴设ACDx，则4ABCx．在ADC与EBC中，∵,,,ADBEAEACEC∴SAS≌ADCEBC，∴ACDECBx．∵ABCEBCE，∴460xx，∴20x，∴60202020BCD．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，准确分析是解题的关键．9．413【解析】【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，结合D是中点证得△ADC≌△EDB，进而利用勾股定理逆定理可证得∠E＝90°，再利用勾股定理求得BD长进而转化为BC长即可．【详解】解：如图，延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，连接B