专题13全等三角线中的辅助线做法及常见题型之和角平分线有关的辅助线备战2021中考数学解题方法系统训

专题13：第三章全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之和角平分线有关的辅助线一、单选题1．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE；④BA+BC=2BF．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④2．如图，RtACB中，90ACB，ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PFAD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①135APB；②PFPA；③AHBDAB；④S四边形23ABDESABP，其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．13．如图，ABC中，135ACB，CDAB，垂足为D，若6AD，20BD，则CD的长为（）A．22B．32C．72D．4二、填空题4．如图所示，ABC的外角ACD的平分线CP与ABC的平分线相交于点P，若36BPC，则CAP_______．5．（香坊名师原创）如图，四边形ABCD中2120DB，ABAD，E为BC上一点，连接AE，2BE，7CD，若4120BAEBCD，则线段CE的长为_______．6．如图，在ABC中，BAC、BCA的角平分线相交于点I，①若40B，则AIC__________，②若35B，BCAIAC，则BAC___________.7．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝50，∠CAP＝______．8．如图，BP平分∠ABC，PDBC，E、F分别是角两边上点，现有四个结论知其一定能得其余结论的有①ABCEPF180；②BEPPFC；③PEPF；④2DBFBEB，_____.三、解答题9．如图所示，在四边形ABCD中，AC平分,DABCDCB，求证：180BD．10．如图，ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．11．如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点P，若40BPC，求CAP的度数．12．如图，在ABC中，60B，AD、CE分别是BAC、ACB的平分线，AD、CE相交于点F，试判断FE和FD之间的数量关系.13．如图，已知B1,0，C1,0，A为y轴正半轴上一点，ABAC，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且BDCBAC.（1）求证：ABDACD；（2）求证：AD平分CDE；（3）若在D点运动的过程中，始终有DCDADB，在此过程中，BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出BAC的度数？14．如图，在ABO中，OAOB，90AOB，AD平分OAB，OEAD于E，交AB于F.求证：（1）ODBF；（2）2ADOFDE.15．如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M为⊙O上一点．（1）若AB是⊙O的切线，求∠BMC；（2）在（1）的条件下，若E，F分别是AB，AC上的两个动点，且EDF120，⊙O的半径为2，试问BECF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．参考答案1．D【解析】【分析】根据SAS证△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，结合∠BCD＝∠BDC可得①②正确；根据角的和差以及三角形外角的性质可得∠DCE＝∠DAE，即AE＝EC，由AD＝EC，即可得③正确；过E作EG⊥BC于G点，证明Rt△BEG≌Rt△BEF和Rt△CEG≌Rt△AEF，得到BG＝BF和AF＝CG，利用线段和差即可得到④正确．【详解】解：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∴在△ABD和△EBC中，BDBCABDCBDBEBA＝＝＝，∴△ABD≌△EBC（SAS），①正确；②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，∴∠BCE＋∠BCD＝∠BDA＋∠BDC＝180°，②正确；③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∠BDA＝∠DAE＋∠BEA，∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝AE．③正确；④过E作EG⊥BC于G点，∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，且EF⊥AB，∴EF＝EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等），∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，BEBEEFEG，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG＝BF，∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，AECEEFEG，∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），∴AF＝CG，∴BA＋BC＝BF＋FA＋BG−CG＝BF＋BG＝2BF，④正确．故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的对应边、对应角相等的性质，等腰三角形的判定与性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等的性质是解题的关键．2．B【解析】【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可．【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD=12CAB，∠ABE=12ABC∴∠BAD+∠ABE=111+=()45222CABABCCABABC∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正确；∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°∴∠APB=∠FPB又∵∠ABP=∠FBPBP=BP∴△ABP≌△FBP（ASA）∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正确；在△APH与△FPD中∵∠APH=∠FPD=90°∠PAH=∠BAP=∠BFPPA=PF∴△APH≌△FPD（ASA），∴AH=FD，又∵AB=FB∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正确；连接HD，ED，∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP∴APHFPDSS，ABPFBPSS，PH=PD，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD∴HD∥EP，∴EPHEPDSS∵ABPBDPAEPEPDABDESSSSS四边形()ABPAEPEPHPBDSSSSABPAPHPBDSSSABPFPDPBDSSSABPFBPSS2ABPS故④错误，∴正确的有①②③，故答案为：B．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定两个三角形全等．3．D【解析】【分析】做,ACDBCD分别关于,ACBC的对称图形,ACEBCF延长,AEBF交于点G，连接CG,构造正方形，再根据等量关系用勾股定理计算．【详解】做,ACDBCD分别关于,ACBC的轴对称图形,ACEBCF延长,AEBF交于点G，连接CG，如图：∵,ACEBCF是,ACDBCD的对称三角形∴6,20,AEADBFBDCECDCF,,,AECADCBFCBDCACEACDBCFBCD∵CDAB∴90ADCBDCAECBFC又∵135ACB∴135ACEBCF∴36013513590ECF∴四边形CEGF是正方形设CDCFGFCEGEx，在RtGAB中：222AG+BGAB即：22262026xx解得：124,30xx（舍）∴CD的长为4．【点睛】本题是一道综合性较强的题目，整体图形的对称构造正方形是解决本题的关键．4．54【解析】【分析】如图（见解析），设CBPx，从而可得2ABCx，先根据三角形的外角性质可求出72BAC∠，再根据角平分线的性质可得,PMPNPMPE，从而可得PNPE，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得PANPAE，最后根据平角的定义即可得．【详解】如图，过点P分别作PMBD于点M，PNBA于点N，PEAC于点E，设CBPx，则2ABCx，36BPC，36DCPBPCBPCx，CP是ACD的平分线，2272ACDDCPx，272272BACACDABCxx，BP是ABC的平分线，PMBD，PNBA，PMPN，同理可得：PMPE，PNPE，在RtANP和RtAEP△中，PNPEPAPA，()RtANPRtAEPHL，PANPAE，即PANCAP，又180PANCAPBAC，272180CAP，解得54CAP，故答案为：54．【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质、三角形的外角性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，利用角平分线的性质是解题关键．5．13【解析】【分析】如下图，先构造并证明AMBAND，从而得出ACMACN，再根据4120BAEBCD可推导出ACCE，最后在Rt△ACM中求解．【详解】解析：连接AC，过点A作AMBC于点M，ANCD于点N，2120ADCB，60ADNB，ABAD，90AMBAND，AMBAND，AMAN，BMDN，RtACMRtACNACBACD，CMCN．设BAE，则60AEC，4120BAEBCD602ACE．60CAEACCE．设EMa，则2BMDNa，9CMCNa92ACCEa，3(2)AMa，在RtACM中，由勾股定理得AMCMAC222解得2a．13CE．【点睛】本题考查了构造并证明全等三角形、勾股定理的运用，解题关键是利用4120BAEBCD进行角度转化，得到边ACCE．6．110°70°【解析】【分析】①先根据三角形内角和求出∠BAC+∠BCA=140°，再根据角平分线的定义求出∠IAC+∠ICA的值，然后利用三角形内角和即可求解；②在BC上取CD=AC，连接BI、DI，利用SAS证明△ACI与△DCI全等，可得AI=DI，∠CAI=∠CDI，再根据BC=AI+AC求出AI=BD，从而可得BD=DI，由三角形外角的性质可得∠CDI=2∠DBI，再根据角平分线的定义即可求出∠CDI=∠ABC，又∠BAC=2∠CAI，代入数据进行计算即可求解；【详解】①∵40B，∴∠BAC+∠BCA=140°，∵AI、CI分别是BAC、BCA的角平分线，∴∠IAC+∠ICA=12(∠BAC+∠BCA)=70°，∴∠AIC=180°-70°=110°；②如图1，在BC上取CD=AC，连接BI、DI，∵CI平分∠ACB，∴∠ACI=∠BCI，在△ACI与△DCI中，ACCDACIBCICICI，∴△ACI≌△DCI（SAS），∴AI=DI，∠CAI=∠CDI，∵BC=AI+AC，∴BD=AI，∴BD=DI，∴∠IBD=∠BID，∴∠CDI=∠IBD+∠BID=2∠IBD，又∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，∴BI是∠ABC的平分线，∴∠ABC=2∠IBD，∠BAC=2∠CAI，∴∠CDI=∠ABC，∴∠BAC=2∠CAI=2∠CDI=2∠ABC，∵∠ABC=3