专题17全等三角线中的辅助线做法及常见题型之双等腰旋转备战2021中考数学解题方法系统训练

专题17：第三章全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之双等腰旋转一、单选题1．如图，在等腰RtABC中，90BAC，3AB，点D在BC上，以AD为边向右作等腰RtADE，90DAE，连接BE，若30EBC，则BD的长为（）A．2B．23C．6D．42．在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论：①AE+BF=22AB；②AE2+BF2=EF2；③S四边形CEDF=12S△ABC；④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是()A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④3．如图，//ABCD，BAC与ACD的平分线相交于点G，EGAC于点E，F为AC中点，GHCD于H，FGCFCG．下列说法正确的是()①AGCG；②BAGCGE；③AFGGFCSS；④若:2:7EGHECH，则150AFG．A．①③④B．②③C．①②③D．①②③④4．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是边BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③四边形AEPF的面积=△ABC的面积的一半，④当EF最短时，EF=AP，上述结论始终正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题5．如图，ABC和DCE都是等腰直角三角形，90ACBECD，42EBD，则AEB___________度．6．如图，在ABC中，90,ACBACBC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，90PCQ，则222,,PAPBPC三者之间的数量关系是_____．7．两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB＝13，CD＝7．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转a（0α90°），如图2所示．当BD与CD在同一直线上（如图3）时，则△ABC的面积为____．三、解答题8．已知Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点O重合，∠AOB=∠COD=90°，且OA=OB，OC=OD．（1）如图1，当C、D分别在OA、OB上时，AC与BD的数量关系是ACBD（填“”，“”或“=”）AC与BD的位置关系是ACBD（填“∥”或“⊥”）；（2）将Rt△OCD绕点O顺时针旋转，使点D在OA上，如图2，连接AC，BD，求证：AC=BD；（3）现将Rt△OCD绕点O顺时针继续旋转，如图3，连接AC，BD，猜想AC与BD的数量关系和位置关系，并给出证明．9．在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE.(1)连接EC，如图①，试探索线段BC，CD，CE之间满足的等量关系，并证明你的结论；(2)连接DE，如图②，求证：BD2+CD2=2AD2(3)如图③,在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=13，CD=1，则AD的长为▲.(直接写出答案）10．已知△ACB为等腰直角三角形，点P在BC上，以AP为边长作正方形APEF，（1）如图①，当点P在BC上时，求∠EBP；（2）如图②，当点P在BC的延长线上时，求∠EBP．11．如图，APB中，AB2，APB90，在AB的同侧作正ABD、正APE和正BPC，求四边形PCDE面积的最大值．12．如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C、D分别在边OA、OB上的点．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1，求证：OH＝12AD，OH⊥AD；（2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，⑴中结论是否仍成立？若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由．参考答案1．C【解析】【分析】连接CE，根据题意可证得ABDACE，所以,45BDCEACEABC，所以90ECB，在等腰RtABC，根据3AB，可求出32BC，在RtBCEV中，30EBC，所以2BECE，设CEx，则2BEx，根据勾股定理可得出关于x的方程，解出即可得出答案.【详解】解：如图，连接CE，90BACBADDAC，90DAECAEDAC，BADCAE，在ABD△与ACE△中，ABACBADCAEADAEABDACESAS，,45BDCEACEABC，45ACB，90ECB；在等腰RtABC，3ABAC，32BC，在RtBCEV中，30EBC2BECE，设CEx，则2BEx，222322xx解得：6x，6BDCE；故选：C.【点睛】本题考查全等三角形以及勾股定理解特殊直角三角形；题中如果出现两个等腰三角形，顶角相等且重合，则可以考虑手拉手证明全等三角形，题中如果出现等腰直角三角形或者含有30°的直角三角形，可利用这两种特殊三角形边之间的关系，已知一边长度，即可求出其他两条边的长度.2．D【解析】【分析】连接CD根据等腰直角三角形的性质就可以得出△ADE≌△CDF，就可以得出AE=CF，进而得出CE=BF，就有AE+BF=AC，由勾股定理就可以求出结论．【详解】连接CD，∵AC=BC，点D为AB中点，∠ACB=90°，∴AD=CD=BD=12AB．∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，∠ADC=∠BDC=90°．∴∠ADE+∠EDC=90°，∵∠EDC+∠FDC=∠GDH=90°，∴∠ADE=∠CDF．在△ADE和△CDF中，ADCBADCDADECDF＝＝＝∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF，DE=DF，S△ADE=S△CDF．∵AC=BC，∴AC-AE=BC-CF，∴CE=BF．∵AC=AE+CE，∴AC=AE+BF=22AB．∵DE=DF，∠GDH=90°，∴△DEF始终为等腰直角三角形．∵CE2+CF2=EF2，∴AE2+BF2=EF2．∵S四边形CEDF=S△EDC+S△EDF，∴S四边形CEDF=S△EDC+S△ADE=12S△ABC．∴正确的有①②③④．故选D．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解题关键是证明△ADE≌△CDF．3．C【解析】【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到90GACGCA从而根据三角形的内角和定理得到90AGC，即可判断①正确性；根据等角的余角相等可知CGEGAC，再由角平分线的定义与等量代换可知BAGCGE，即可判断②正确性；通过面积的计算方法，由等底等高的三角形面积相等，即可判断③正确性；通过角度的和差计算先求出EGHECH，的度数，再求出50EGF，再由三角形内角和定理及补角关系即可判断④是否正确．【详解】①中，∵AB∥CD，∴180BACACD，∵∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，∴11121809022GACGCABACACD，∵180GACGCAAGC，∴90AGC∴AG⊥CG，则①正确；②中，由①得AG⊥CG，∵EGAC，FGCFCG，∴根据等角的余角相等得CGEGAC，∵AG平分BAC，∴=BAGGAC，∴BAGCGE，则②正确；③中，根据三角形的面积公式，∵F为AC中点，∴AF=CF，∵AFG与GFC等底等高，∴AFGGFCSS，则③正确；④中，根据题意，得：在四边形GECH中，180EGHECH，又∵:2:7EGHECH，∴271804018014099EGHECH，，∵CG平分∠ECH，∴1702FCGECH，根据直角三角形的两个锐角互余，得20EGC.∵FGCFCG，∴70FGCFCG，∴50EGFFGCECG，∵EGAC，∴9040GFEEGF，∴18018040140AFGGFE，则④错误.故正确的有①②③，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用，涉及到三角形面积求解，三角形的内角和定理，补角余角的计算，角平分线的定义，平行线的性质等相关知识点以及等量代换等数学思想，熟练掌握相关角度的和差倍分计算是解决本题的关键.4．D【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠BAP=∠C=45°，AP=CP，根据等角的余角相等求出∠APE=∠CPF，然后利用“角边角”证明△AEP和△CPF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，PE=PF，全等三角形的面积相等求出S四边形AEPF=S△APC，然后解答即可．【详解】∵AB=AC，∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形．∵点P为BC的中点，∴∠BAP=∠C=45°，AP=CP．∵∠EPF是直角，∴∠APE+∠APF=∠CPF+∠APF=90°，∴∠APE=∠CPF．在△AEP和△CPF中，∵45BAPCAPPCAPECPF，∴△AEP≌△CPF（ASA），∴AE=CF，PE=PF，S△APE=S△CPF，∴S四边形AEPF=S△APC，∴S四边形AEPF=12S△ABC，根据等腰直角三角形的性质，EF=2PE，所以，EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF=2PE=AP，此时，EF最短；故①②③④正确．故选D．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键．5．132【解析】【分析】先证明△BDC≌△AEC，进而得到角的关系，再由∠EBD的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案．【详解】解：∵90ACBECD，∴BCDACE，在BDC和AEC中，ACBCBCDACEDCEC，∴BDCAECSAS≌，∴DBCEAC，∵42EBDDBCEBC，∴42EACEBC，∴904248ABEEAB，∴180()18048132AEBABEEAB．故答案为132【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．6．PA2+PB2=2PC2【解析】【分析】把AP2和PB2都用PC和CD表示出来，结合Rt△PCD中，可找到PC和PD和CD的关系，从而可找到PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系；【详解】解：过点C作CD⊥AB，交AB于点D∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD=AD=DB，∵PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2），在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，∴PA2+PB2=2PC2，故答案为PA2+PB2=2PC2.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，关键是作出辅助线，利用三线合一进行论证.7．30【解析】【分析】设AO与BC的交点为点G，根据等腰直角三角形的性质证△AOC≌△BOD，进而得出△ABC是直角三角形，设AC＝x，BC=x+7，由勾股定理求出x，再计算△ABC的面积即可．【详解】解：设AO与BC的交点为点G，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠DOB，在△AOC和△BOD中，OAOBAOCBODOCOD＝＝＝，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∠C