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专题18：第三章全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之互补型旋转一、单选题1．Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论①(BE+CF)=22BC，②AEFABC1SS4，③AEDFS四形边AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题2．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ，连接AQ．若PA=4，PB=5，PC=3，则四边形APBQ的面积为_______．3．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是____．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为_________．三、解答题5．如图，在ABC中，120ACB，BCAC，点E在BC上，点D在AB上，CECA，连接DE，180ACBADE，CHAB，垂足为H．证明：23DEADCH．6．在ABC中，90BAC，ABAC，ADBC于点D,（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且90BMN，当30AMN，2AB时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且90EDF，求证：BEAF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且90BMN，求证：2ABANAM;7．探究问题：(1)方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠BAF＝45°，连接EF，求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF＝45°∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．∵∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°．即∠GAF＝∠________．又AG＝AE，AF＝AE∴△GAF≌△________．∴_________＝EF，故DE＋BF＝EF．(2)方法迁移：如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．8．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时，求证：BE=CF；（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由9．如图所示，ABC中，1ABBC，90ABC，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DF，长直角边为DE），将三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.（1）在如图所见中，DE交AB于M，DF交BC于N，证明DMDN；（2）继续旋转至如图所见，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，证明DMDN.10．如图1，四边形ABCD中，BD⊥AD，E为BD上一点，AE＝BC，CE⊥BD，CE＝ED（1）已知AB＝10，AD＝6，求CD；（2）如图2，F为AD上一点，AF＝DE，连接BF，交BF交AE于G，过G作GH⊥AB于H，∠BGH＝75°．求证：BF＝22GH+2EG．11．一位同学拿了两块45三角尺MNK，ACB做了一个探究活动：将MNK的直角顶点M放在ACB的斜边AB的中点处，设4ACBC.（1）如图1所示，两三角尺的重叠部分为ACM，则重叠部分的面积为______，周长为______.（2）将如图1所示中的MNK绕顶点M逆时针旋转45，得到如图2所示，此时重叠部分的面积为______，周长为______.（3）如果将MNK绕M旋转到不同于如图1所示和如图2所示的图形，如图3所示，请你猜想此时重叠部分的面积为______.（4）在如图3所示情况下，若1AD，求出重叠部分图形的周长.12．阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足_关系时，仍有EF=BE+DF；（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，求DE的长．参考答案1．C【解析】【分析】【详解】解:∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∴AD=DC，∠EAD=∠C=45°，∠EDA=∠MDN－∠ADN=90°－∠ADN=∠FDC．∴△EDA≌△FDC（ASA）．∴AE=CF．∴BE+CF=BE+AE=AB．在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=22BC．∴(BE+CF)=22BC．∴结论①正确．设AB=AC=a，AE=b，则AF=BE=a－b．∴22AEFABC1111111SSAEAFABAC=baba=a2b04242288．∴AEFABC1SS4．∴结论②正确．如图，过点E作EI⊥AD于点I，过点F作FG⊥AD于点G，过点F作FH⊥BC于点H，ADEF相交于点O．∵四边形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形，∴EO≥EI（EF⊥AD时取等于）=FH=GD，OF≥GH（EF⊥AD时取等于）=AG．∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD．∴结论④错误．∵△EDA≌△FDC，∴22ADCAEDF11SSADDCADADADEF22四边形．∴结论③错误．又当EF是Rt△ABC中位线时，根据三角形中位线定理知AD与EF互相平分．∴结论⑤正确．综上所述，结论①②⑤正确．故选C．2．25364【解析】【分析】由旋转的性质可得△BPQ是等边三角形，由全等三角形的判定可得△ABQ≌△CBP(SAS)，由勾股定理的逆定理可得△APQ是直角三角形，求四边形的面积转化为求两个特殊三角形的面积即可．【详解】解：连接PQ，由旋转的性质可得，BP=BQ，又∵∠PBQ=60°，∴△BPQ是等边三角形，∴PQ=BP，在等边三角形ABC中，∠CBA=60°，AB=BC，∴∠ABQ=60°-∠ABP∠CBP=60°-∠ABP∴∠ABQ=∠CBP在△ABQ与△CBP中BQBPABQCBPABCB，∴△ABQ≌△CBP(SAS)，∴AQ=PC，又∵PA=4，PB=5，PC=3，∴PQ=BP=5，PC=AQ=3，在△APQ中，因为2229,16,25AQAPPQ，25=16+9，∴由勾股定理的逆定理可知△APQ是直角三角形，∴2312535346424BPQAPQAPBQSSS四边形，故答案为：25364【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定、勾股定理的逆定理及特殊三角形的面积，解题的关键是作出辅助线，转化为特殊三角形进行求解．3．2【解析】【分析】根据题意作图，连接1OB，1OC，可得△1OBF△1OCG，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案．【详解】解：连接1OB、1OC，如图：1190BOFFOC，1190FOCCOG，11BOFCOG，四边形ABCD是正方形，1145OBFOCG，在△1OBF和△1OCG中111111FOBCOGBOCOFBOGCO△1OBF△1()OCGASA，1O、2O两个正方形阴影部分的面积是14S正方形，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是14S正方形，122SS正方形阴影部分．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，把阴影部分进行合理转移是解决本题的难点，难度适中．4．32【解析】【分析】可将△OBC绕着O点顺时针旋转90°，所得的图形与△OAC正好拼成等腰直角三角形BC+AC等于等腰三角形的斜边CD.【详解】解：将△OBC绕O点旋转90°，∵OB=OA∴点B落在A处，点C落在D处且有OD=OC=3，∠COD=90°，∠OAD=∠OBC，在四边形OACB中∵∠BOA=∠BCA=90°，∴∠OBC+∠OAC=180°，∴∠OAD+∠OAC=180°∴C、A、D三点在同一条直线上，∴△OCD为等要直角三角形，根据勾股定理CD2=OC2+OD2即CD2=32+32=18解得CD=32即BC+AC=32.【点睛】本题考查旋转的性质，旋转前后的图形对应边相等，对应角相等.要求两条线段的长，可利用作图的方法将两条线段化成一条线段，再求这条线段的长度即可，本题就是利用旋转的方法做到的，但做本题时需注意，一定要证明C、A、D三点在同一条直线上.本题还有一种化一般为特殊的方法，因为答案一定可考虑CB⊥y轴的情况，此时四边形OACB刚好是正方形，在做选择或填空题时，也可以起到事半功倍的效果.5．见解析【解析】【分析】如图，延长BA到点F，使AFDE，连接CF、CD，根据四边形的内角和和邻补角互补可得CAFCED，进而可根据SAS证明AFCEDC△≌△，可得CFCD，ACFECD，进一步即可求得120FCD，然后利用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识即可证得结论．【详解】证明：如图，延长BA到点F，使AFDE，连接CF、CD，180ACBADE，360180180CADCED，180CADCAF，CAFCED，ACEC，AFED，AFCEDC△≌△，CFCD，ACFECD，120FCDACFACDECDACDACB，CFCD，CHDF，1122FHDHDFDEAD，1602HCDFCD，tan3DHHCDCH，3DHCH，223DEADDHCH．【点睛】本题考查了四边形的内角和、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和解直角三角形等知识，正确添加辅助线、灵活应用上述知识是解题的关键．6．(1)2323AM；(2)见解析；(3)见解析.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到AD＝BD＝DC＝2，求出∠MBD＝30°，根据勾股定理计算即可；（2）证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质证明；（3）过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，证明△BME≌△AMN，根据全等三角形的性质得到BE＝AN，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论．【详解】（1）解：90BAC，ABAC，ADBC，ADBDDC，45ABCACB，45BADCAD，2AB，2,ADBDDC，30AMN，180903060BMD，30BMD，2BMDM，由勾股定理得，222BMDMBD，即222(2)(2)DMDM