专题22第4章解三角形之字母型备战2021中考数学解题方法系统训练教师版

22第4章解三角形之字母型学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在A处测得点P在北偏东60方向上，在B处测得点P在北偏东30方向上，若2AB米，则点P到直线AB距离PC为（）．A．3米B．3米C．2米D．1米【答案】B【解析】【分析】设点P到直线AB距离PC为x米，根据正切的定义用x表示出AC、BC，根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：设点P到直线AB距离PC为x米，在RtAPC△中，3tanPCACxPAC，在RtBPC△中，3tan3PCBCxPBC，由题意得，3323xx，解得，3x（米)，故选：B．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．2．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）．A．503B．51C．5031D．101【答案】C【解析】试题分析：设AG=x，分别在Rt△AEG和Rt△ACG中，表示出CG和GE的长度，然后根据DF=100m，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AH．解：设AG=x，在Rt△AEG中，∵tan∠AEG=，∴EG==x，在Rt△ACG中，∵tan∠ACG=，∴CG==x，∴x﹣x=100，解得：x=50．则AB=50+1（米）．故选C．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．3．一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后上到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A点仰角为37°（身高忽略不计）．已知斜坡CD坡度i=1：2.4，坡长为2.6米，旗杆AB所在旗台高度EF为1.4米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上．则请问旗杆自身高度AB为（）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．10.2B．9.8C．11.2D．10.8【答案】B【解析】【分析】如图，作DHFC交FC的延长线于H，延长AB交CF的延长线于T，作DJAT于J．设ATTCx，在RtADJ中，根据tanAJADJDJ，构造方程解决问题即可．【详解】解：如图，作DH⊥FC交FC的延长线于H，延长AB交CF的延长线于T，作DJ⊥AT于J．由题意四边形EFTB、四边形DHTJ是矩形，∴BT=EF=1.4米，JT=DH，在Rt△DCH中，∵CD=2.6米，DHCH=12.4，∴DH=1（米），CH=2.4（米），∵∠ACT=45°，∠T=90°，∴AT=TC，设AT=TC=x．则DJ=TH=（x+2.4）米，AJ=（x﹣1）米，在Rt△ADJ中，∵tan∠ADJ=AJDJ=0.75，∴12.4xx=0.75，解得x=2，∴AB=AT﹣BT=AT﹣EF=11.2﹣1.4=9.8（米），故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用测量高度问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，要熟练掌握仰角，坡度等概念，为中考常见题型．二、填空题4．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是_____米．（2≈1.4，3≈1.7，结果保留整数）【答案】74【解析】【分析】首先证明BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，由∠A＝30°，推出AD＝CD，由此构建方程即可解决问题．【详解】如图，∵CD⊥AD，∠CBD＝45°，∴∠CDB＝90°，∠CBD＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴AD＝3CD，∴52+x＝3x，∴x＝523-1≈74（m），故答案为74，【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．5．如图，在一笔直的海岸线l上有相距4km的,AB两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是________km．【答案】23【解析】【分析】过点C作CD⊥AB于点D，然后根据等腰三角形和判定和性质以及解直角三角形的应用即可求出答案．【详解】过点C作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=4km，在Rt△CBD中，∴CD=BC•sin60°34232(km)∴船C到海岸线l的距离是23km．故答案为：23．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用－方向角问题，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．三、解答题6．如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行20m到达B处，侧的灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD．（结果保留整数）参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60【答案】CD约为30m【解析】【分析】根据锐角三角函数可得AD=tantan31CDCDA，BD=CD，然后根据AD－BD=AB列出方程即可求出结论．【详解】解：在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠A=31°，∠CBD=45°∴AD=tantan31CDCDA，BD=CD∵AD－BD=AB∴20tan31CDCD解得：CD≈30答：这座灯塔的高度CD约为30m．【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．7．如图所示，在一个坡度1:2i的山坡CB的顶端B处竖直立着一个电视发射塔AB．为测得电视发射塔的高度，小明站在山脚的平地D处测得电视发射塔的顶端A的仰角为40°，若测得斜坡BC长为1005米，点C到点D的水平距离20CD米，求电视发射塔AB的高度．（参考数值：sin400.64，cos400.77，tan400.84，结果保留整数）【答案】85米【解析】【分析】如图，根据坡比设BE=x，EC=2x，在RtBEC中，根据勾股定理列出关于x的方程求出BE和CE；在RAEDt△中，利用正切的定义求出AE问题得解．【详解】解：如图，作ABDC交DC的延长线于点E，在RtBCEV中，∵:1:2iBECE，设BEx，则2CEx，1005BC，根据勾股定理得22221005xx，解得100x，∴100BE（米），200CE（米），∴220DECECD（米），在RtADE△中，∵tan40AEDE，∴2200.84184.8AE，∴184.810084.885ABAEBE（米），答：电视发射塔AB的高度约为85米．【点睛】本题考查了坡比的概念、仰角概念及锐角三角函数定义，要求学生能借助仰角、坡比构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．8．如图，一艘渔船以40海里/小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处测得小岛C在渔船的北偏东60方向；半小时后，渔船到达B处，此时测得小岛C在渔船的北偏东30°方向．已知以小岛C为中心，周围18海里以内为军事演习着弹危险区．如果这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有着弹危险？【答案】如果这艘渔船继续向东追赶鱼群有着弹危险，详见解析【解析】【分析】根据题意可知，实质是比较C点到AB的距离与18的大小．因此作CD⊥AB于D点，求CD的长．【详解】有着弹危险．理由如下：作CDAB于D，根据题意，140202AB，30CAB，60CBD，∴30CBCBCADAB，∴20BCAB，在RtBCD中，906030BCD，∴2BCBD，∴10BD，∴2222201030018CDBCBD，答：如果这艘渔船继续向东追赶鱼群有着弹危险．【点睛】本题考查了方位角问题，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用等，掌握方位角的概念、熟记含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．9．为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求B处到灯塔P的距离；（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？【答案】（1）B处到灯塔P的距离为60海里；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的【解析】【分析】（1）作PD⊥AB于D．求出∠PAB、∠PBA、∠P的度数，证得△ABP为等腰三角形，即可解决问题；（2）在Rt△PBD中，解直角三角形求出PD的值即可判定．【详解】（1）过点P作PD⊥AB于点D，由题意得，AB=60（海里），∠PAB=30°，∠PBD=60°，∴∠APB=∠PBD-∠PAB=60°-30°=30°=∠PAB，∴PB=AB=60（海里），答：B处到灯塔P的距离为60海里；（2）由（1）可知∠APB=∠PAB=30°，∴PB=AB=60（海里）在Rt△PBD中，PD=BPsin60°6033032（海里），∵30350，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．10．如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60，从点C走到点D，测得5CD米，从点D测得天线底端B的仰角为45，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，25AB米．（1）求A与C之间的距离；（2）求天线BE的高度．（参考数据：31.73，结果保留整数）【答案】（1）,AC之间的距离为30米；（2）天线BE的高度约为27米．【解析】【分析】（1）根据题意，∠BAD=90°，∠BDA=45°，故AD=AB，已知CD=5，不难算出A与C之间的距离．（2）根据题意，在RtACE△中，60ACE，利用三角函数可算出AE的长，又已知AB，故EB即可求解．【详解】（1）依题意可得，在RtABD△中，45ADB，25ADAB米，5CD米，25530ACADCD米.即,AC之间的距离为30米．（2）在RtACE△中，60ACE，30AC米，30tan60303AE（米），25AB米，30325)(BEAEAB米．由3173．．并精确到整数可得27BE米．即天线BE的高度约为27米．【点睛】（1）本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．（2）本题主要考查三角函数的灵活运用，正确运用三角函数是解答本题的关键．11．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知60MAC，15ACB，40cmAC，求支架BC的长．（结果精确到1cm，参考数据：21.414，31.732，62.449）【答案】49cm【解析】【分析】过点C作CD⊥MN，垂足为D，分别解△ACD和△BCD，即可得到结果．【详解】解：过点C作CD⊥MN，垂足为D，∵∠MAC=60°，∠ACB=15°，∴∠ABC=60°-15°=45°，∠ACD=30°，∴△BCD是等腰