专题26第5章相似三角形之X型相似备战2021中考数学解题方法系统训练教师版

26第5章相似三角形之X型相似一、单选题1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，点D，E分别是边AB，BC的中点，CD与AE交于点O，则OD的长是()A．1.5B．1.8C．2D．2.4【答案】C【解析】根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，求得CD的长，根据中位线的性质，得到DE∥AC，求得△AOC∽EOD，根据三角形相似的性质求出OD和OC的关系，进而得出OD和CD的关系，然后即可求解．【解答】解：∵△ABC为直角三角形，D点为AB的中点，∴CD=12AB=6∵D和E点分别为AB，BC的中点，∴DE∥AC，12DEAC∴△AOC∽△EOD，12ODDEOCAC．123ODCD故选C．【点睛】本题考查了中位线性质，相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握中位线的性质，能够利用平行线判定两三角形相似．2．如图，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝12cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE等于（）cm．A．32B．24C．48D．64【答案】C【解析】根据平行线的性质及相似三角形的判定与性质即可求解．【解答】解：标出字母，如图：∵在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，∴∠EAD=∠MAD，∵DE∥AB交AC的延长线于点E，∴∠EDA=∠MAD，∠BAC=∠CED，∴∠EAD=∠EDA，∴ED=EA，∵在三角形ABC与三角形CED中，∠BAC=∠CED，∠BCA=∠ECD，∴△ABC∽△CED，∴ ABACDECE，∵AB=15cm，AC=12cm，设ED=15k，∴CE=12k，∴ED=15k=EA=EC+CA=12k+12，∴3k=12，∴k=4，∴CE=12k=48（cm），故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质及相似三角形的判定与性质，本题的解题关键是由三角形相似边的比例关系即可得出答案．3．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则BEEG的值为（）A．12B．13C．23D．34【答案】C【解析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解答】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴2233BEABkEGCGk，故选：C．【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键．4．如图，已知O的内接ABC中，12ABAC，ADBC于D，3AD，直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AGEGBGCG；②2BEEGAE；③当6AB时，O的面积取得最大值36；④三角形外接圆直径等于它的任两边的积与第三边上的高的比．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】本题需根据三角形外接圆、相交弦定理、相似三角形的性质、圆周角定理、二次函数的性质去解答.【解答】由相交弦定理得①是正确的；由条件并不能得出BEG与AEB相似，故②是错误的；由条件可证ABE与ADC相似，从而可得AEADABAC，进而可得O的半径，设ABx，O的半径为y，则有2126yxx，故当6AB时，O的最大面积为36，故③是正确的；由AEADABAC这一结论一般化，得④是正确的，故选C．【点睛】本题主要考查三角形外接圆、相交弦定理、相似三角形的性质、圆周角定理、二次函数的性质，解题的关键是理解运用这些性质定理.5．如图，在正方形ABCD中，EF，分别为,BCCD的中点，连接AEBF，交于点G，将BCF沿BF对折，得到BPF△，延长FP交BA延长于点,Q若2,5PF则55QBAE的值为（）A．1B．2C．3D．75【答案】D【解析】先根据折叠的性质得到△BCF≌△BPF，Rt△ABM≌Rt△BMP，在Rt△DMF中，MF2＝FD2＋DM2,列式求出AM，再根据相似三角形求出AQ，得到BQ的长，再根据勾股定理求出AE的长，代入即可求解．【解答】如图，连接BM，在正方形ABCD中，EF，分别为,BCCD的中点，∵折叠，∴△BCF≌△BPF∴BC＝BP，∠CBF＝∠PBF,CF=PF=DF=25∴AB＝BP=45且BM＝BM∴Rt△ABM≌Rt△BMP∵在Rt△DMF中，MF2＝FD2＋DM2．∴（25＋AM）2＝（25）2+（45−AM）2∴AM＝415，∴DM＝45-415=815，∵DF∥AQ∴△DFM∽△AQM∴DFDMAQAM即28515415AQ解得AQ=15∴BQ=AQ+AB=15+45=1∵E点是AE的中点，∴BE=25,则AE=22255ABBE∴55AE=5225555∴55QBAE=1+25=75故选D．【点睛】本题考查了折叠问题，正方形的性质，勾股定理及相似三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．二、填空题6．已知ABC中，AB6,AC9,DE、分别是直线AC和AB上的点，若ADAEACAB且AD3，则BE_________．【答案】4或8【解析】通过比例式，可以确定AE的长度，点E是直线AB上的点，没有限定E的位置，只限定AE的长度，以点A为圆心，AE长为半径的圆与直线AB的交点是点E位置，有两个，要分类求即可．【解答】如图∵AB=6，AC=9，AD=3，ADAE=ACAB，∴AE=ADAB36=AC9=2，当E在AB上,∴BE=AB-AE=6-2=4,当E在AB延长线上，BE=AB+AE=6+2=8,则BE的长为4或8．故答案为：4或8．【点睛】本题考查比例式下的线段问题，用比例求出的线段只限定长度，要考虑线段的位置，要会分类计算是解题关键．7．如图，在RtACB△中，90ACB，4AC，3BC，点D为AC上一点，连接BD，E为AB上一点，CEBD于点F，当ADCD时，求CE的长．【答案】121317【解析】将RtACB△补成矩形ACBH，延长CE交AH于点G，可得BCDCAG△△∽，结合已知可求83AG、4133CG，再由AEGBEC△△∽即可求出CE．【解答】解：如解图，补成矩形ACBH，延长CE交AH于点G，∵90ACB，CEBD，∴90ACGBCG，90ABDBCG，∴ACGCBD，∴BCDCAG△△∽，∴CDCBBDAGACCG，∴23134AGCG，∴83AG，4133CG，∴设CEx，则4133EGx，又∵在矩形ACBH中，//AGBC，∴AEGBEC△△∽，∴AGEGBCCE，即8413333xx，解得121317x．∴121317CE．【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，直角三角形的性质，证明BCDCAG△△∽是本题的关键．8．如图，在ABC△中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且:1:5AFFD，连结CF并延长交AB于点E，则:AEEB等于（______）．【答案】110【解析】先过点D作GD∥EC交AB于G，由平行线分线段成比例可得BG=GE，再根据GD∥EC，得出5EGAE，最后根据::25EGAEEBEG，即可得出答案．【解答】解：过点D作GD∥EC交AB于G，∵AD是BC边上中线，1BGBDGEDC，即BG=GE，又∵GD∥EC，15AEAFEGFD5EGAE::21:105EGAEEBEG【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是求出AE、EB、EG之间的关系9．如图△ABC中，AB=AC=5，BC=8，G是△ABC的重心，GH⊥AB于H，则GH的长为____．【答案】85【解析】首先证明~EGFAGH，求得2AGGE，再证明AGHEGF即可得到结论．【解答】连接AG并延长交BC于E，连接BG并延长交AC于F，连接EF，如图，G点是重心，,BFAE是ABC的中线，E，F分别是BC，AC边的中点，EF是ABC的中位线，//EFAB，12EFAB，~EGFAGB，2ABAGEFGEABAC，E为BC的中点AEBC90AEBGHAB90GHAGHAAEB又HAGEAB~AGHABEAGGHABBE8BC4BE在RtABE中，5AB，4BE，2222543AEABBE2AGGE，23AGAE，223AGAE24855AGBFGHAB．故答案为：85．【点睛】本题考查了三角形重心，三角形重心的性质为重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．10．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为__．【答案】125【解析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明△CAB∽△CP′O利用对应线段的比得到OP的长度，继而得到PQ的长度．【解答】∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝22ACAB＝5，∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP′，∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，∴△CAB∽△CP′O，∴΄COOPBCAB，∴2΄53OP，∴OP′＝65，∴则PQ的最小值为2OP′＝125，故答案为：125．【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题．三、解答题11．如图，是一个照相机成像的示意图．（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？【答案】（1）7m．（2）70mm．【解析】试题分析：（1）利用相似三角形对应边上的高等于相似比即可列出比例式求解．（2）和（1）一样，利用物体的高和拍摄点距离物体的距离及像高表示求相机的焦距即可．解：根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，∴MNLCABLD．（1）∵像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，∴35504.9LD，解得：LD=7．∴拍摄点距离景物7m．（2）拍摄高度AB是2m的景物，拍摄点离景物LC=4m，像高MN不变，是35mm，∴35LC24，解得：LC=70．∴相机的焦距应调整为70mm．12．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，//ACx轴，点BC、的横坐标都是3，且2BC，点D在AC上，若反比例函数0kyxx的图象经过点BD、，且32AOBC：：．（1）求点D坐标；（2）将AOD△沿着OD折叠，设顶点A的对称点为'A，试判断点'A是否恰好落在直线BD上，为什么．【答案】（1）1,3D；（2）A不在直线BD上，理由见解析【解析】（1）先根据AO：BC=3：2，BC=2得出OA的长，再根据点B、C的横坐标都是3可知BC∥AO，故可得出B点坐标，再根据点B在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上可求出k的值，由AC∥x轴可设点D(t