专题27第5章相似三角形之母子型备战2021中考数学解题方法系统训练教师版

27第5章相似三角形之母子型一、单选题1．如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，则图中的相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】C【解析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形．【解答】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD所以有三对相似三角形，故选：C．【点睛】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似．2．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC边上一点，F是AD、BE的交点，CE=2AE，BF=EF，EN∥BC交AD于N，若BD=2，则CD长度为()A．6B．7C．8D．9【答案】A【解析】根据平行线的性质得到相等的角，再结合BF=EF先证明△NEF≌△DBF，即可得到NE=BD=2，再证明△ANE∽△ADC，根据相似三角形的对应边成比例求解．【解答】解：∵NE∥BC，∴∠NEF=∠DBF，∠ENF=∠BDF，又∵BF=EF，∴△NEF≌△DBF，∴NE=BD=2．∵NE∥BC，∴△ANE∽△ADC，∴NEAECDAC，∵CE=2AE，∴13NEAECDAC，∴CD=6．故答案选：A．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，主要注意数形结合思想的应用．3．如图，正方形ABCD中，E、F分别在边CD，AD上，BECF于点G，若BC=4，AF=1，则CE的长为（）A．3B．125C．195D．165【答案】A【解析】过D做DHFC于点H，由正方形ABCD的性质，通过证明FDCFHD△∽△和FDHCBG△∽△计算得到GC，再通过证明ECGCDF△∽△从而求得CE的长．【解答】如下图，过D做DHFC于点H∴90DHF∵正方形ABCD∴90FDC且4ADCDBC∵1AF∴413FDADAF∴2222345FCFDCD又∵90DHFFDC∴FDCFHD△∽△∴35FHFDFDFC∵3FD∴95FH又∵正方形ABCD∴//ADBC∴DFHBCG∵BECF于点G∴90BGCCGE∴FDHCBG△∽△∴43GCBCFHFD∵95FH∴125GC∵=FCDECG且90FDCCGE∴ECGCDF△∽△∴1235=45ECGCFCCD∴33=5=355ECFC故选：A．方法二：∵∠BEC+∠FCD=90°，∠DFC+∠FCD=90°，∴∠BEC=∠DFC，又∵∠CDF=∠BCE,BC=CD,∴△BCE≌△CDF，∴CE=DF=4-1=3;【点睛】本题考察了三角形勾股定理、相似三角形、正方形的知识；求解的关键是熟练掌握正方形、相似三角形的性质，从而完成求解．4．如图，点P是ABC的边AB上的一点，若添加一个条件，使ABC与CBP相似，则下列所添加的条件错误的是（）A．BPCACBB．ABCPC．::ABBCBCPBD．::ACCPABBC【答案】D【解析】在ABC与CBP中，已知有一对公共角∠B，只需再添加一组对应角相等，或夹已知等角的两组对应边成比例，即可判断正误．【解答】A．已知∠B=∠B,若BPCACB，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；B．已知∠B=∠B,若ABCP，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；C．已知∠B=∠B,若::ABBCBCPB，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；D．若::ACCPABBC，但夹的角不是公共等角∠B，则不能证明两三角形相似，错误，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解答的关键．二、填空题5．如图，在边长为4正方形ABCD中，以AB为腰向正方形内部作等腰ABE△，点G在CD上，且3CGDC．连接BG并延长，与AE交于点F，与AD延长线交于点H．连接DE交BH于点K．若2·AEBFBH，则CDES△____．【答案】165【解析】作EMAB于M，EM交CD于N，根据勾股定理可得BG，再由相似三角形的性质可得BH，继而判定BAFBHA∽△△，并求得BF的长，由全等三角形的性质可得ME，利用线段的和差求得EN，进而由三角形面积公式即可求解．【解答】作EMAB于M，EM交CD于N，如图，则ENCD，∵3CGDG，∴1DG，3CG，在RtBCG中，22345BG，∵//DGAB，∴HDGHAB∽△△．∴HGDGHBAB即514HBHB解得203HB∵2·AEBFBH，而ABAE，∴2·ABBFBH，即::ABBFBHAB，而ABFHBA，∴BAFBHA∽△△．∴90BFABAH，∴BF⊥AE．∴224122053ABBFBH，∵∠BME＝EFB，∠MBE＝∠FEB，BE＝EB，∴△BME≌△EFB（AAS），∴125MEBF，∴128455EN，∴18164255CDES．故答案为：165．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线求得关键线段的长解决问题．6．如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D．AC与BD相交于点E，CD2=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=22．则BO的长是_________．【答案】4【解析】连结OC，设⊙O的半径为r，由DC2=CE•CA和∠ACD=∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，利用等腰三角形的判定得BC=DC，证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到2PCPOCDOA，则242PCCD，然后证明PCBPAD△∽△，利用相似比得到42362rr，再利用比例的性质可计算出r的值即可．【解答】解：连结OC，如图，设O的半径为r，2DCCECA，DCCACEDC，而ACDDCE，CADCDE△∽△，CADCDE，CADCBD，CDBCBD，BCDC，CDCB，BOCBAD，//OCAD，22PCPOrCDOAr，242PCCD，PCBPAD，CPBAPD，PCBPAD△∽△，PCPBPAPD，即42362rr，4r，即OB=4.故答案为：4.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．也考查了圆周角定理．7．如图，在ABC中，45ABC，22AB，ADAE，DAE90，CE5，则CD的长为______．【答案】5【解析】在CD上取点F，使DEFADB，证明ADBDEF∽，求解4DF，再证明CEFCDE∽，利用相似三角形的性质求解CF即可得到答案.【解答】解：在CD上取点F，使DEFADB，ADAE，DAE90，由222ADAEDE，DE2AD2AE，ABC45，ADE45，且ADCADEEDC=ABDBAD，BADEDC，BDADEF，ADB∽DEF，DFDE2ABAD，45,EFDABDAB22，DF4，又45CDECAED，45,EFDCEFCCEFCDE，,CCCEF∽CDE，CEDCCFCE，又DF4,CE5，5CF4CF5，CF1或CF5(舍去)，经检验：1CF符合题意，CDCF45．故答案为：5．本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，分式方程与一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.8．如图D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，△ABC的内角平分线AQ交DE于点P，过点P作直线交AB、AC于R、S，若23,9ASARACABBC，则DE=________．【答案】6【解析】由23ARASACAB，且∠RAS=∠CAB，可证得△ARS∽△ACB，所以∠ARS=∠ACB，再由∠BAP=CAQ可证得△ARP∽△ACQ，23APARAQAC，再由DE∥BC，可知23DEAPBCAQ，把BC的值代入可求得DE．【解答】解：∵23ARASACAB，且∠RAS=∠CAB，∴△ARS∽△ACB，∴∠ARS=∠ACB，又∵AQ为角平分线，∴∠BAP=CAQ，∴△ARP∽△ACQ，∴23APARAQAC，∵DE∥BC，∴23DEAPBCAQ，∵BC=9，∴293DE，∴DE=6．【点睛】本题主要考查三角形相似的判定和性质，解题的关键是能利用条件两次证得三角形相似，从而得到DE和BC的比值．9．如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝_____，BE＝_____．【答案】25﹣1【解析】先根据矩形的性质得到ADBC，90ADCBDAE，再根据折叠的性质得到CFBC，90CFEB，EFBE，然后根据全等三角形的性质得到2DFAE；最后根据相似三角形的性质即可得BE的值．【解答】∵四边形ABCD是矩形∴ADBC，90ADCBDAE∵把BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处∴CFBC，90CFEB，EFBE∴CFAD，90CFD∴90ADECDFFCDCDF∴ADEFCD在ADE和FCD中，90ADEFCDADFCDAECFD∴()ADEFCDASA∴2DFAE∵90AFECFD∴90AFEDAE∵AEFDEA∴AEFDEA∴AEEFDEAE，即AEEFDFEFAE∴222EFEF解得51EF或510EF（不符题意，舍去）则51BEEF故答案为：2，51．【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，根据矩形与折叠的性质，正确找出两个相似三角形是解题关键．10．如图，在ABC中，AB=AC=4，43BC，点D为边AC上一动点（点C除外），将线段BD绕点D顺时针旋转90至ED，连接CE，则CDE面积的最大值为________________【答案】92【解析】设CD=x，过A作AZBC与Z，过B作BNAC的延长线于N，过E作EMCA的延长线于M，由△△AZCBNC得到AZBNACBC，再利用勾股定理求出NC，证出MEDNDB△△，即可得出结果；【解答】设CD=x，过A作AZBC与Z，过B作BNAC的延长线于N，过E作EMCA的延长线于M，如图所示：∵AB=AC，∴1232ZCBC，∵AC=4，∴224232AZ，又∵90BNCAZC，∴△△AZCBNC，∴AZBNACBC，∴2=443BN，解得23BN，根据勾股定理得22224232ANABBN，∴6NC，根据题意可得90BDE，即可得到NBDMDE,线段BD绕点D顺时针旋转90至EDBDED∴MEDNDB△△，∴ME=DN=CN-CD=6x