搜索
28第5章相似三角形之旋转相似一、单选题1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则BQAQ的值为（）A．2B．3C．22D．32【答案】A【解析】根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，进而求出∠C、∠B的度数，求出其他角的度数，可得AQ＝AC，将BQAQ转化为BQAC，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∵∠ADC＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝22AD，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∴AD＝CD＝BD，由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，∴AC′＝AQ＝AC，由△AEC∽△BDQ得：BQAC＝BDAE，∴BQAQ＝BQAC＝ADAE＝2AEAE＝2．故选：A．【点睛】考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键．2．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】①根据四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；②根据点E是AD边的中点，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根据相似三角形对应边成比例，可得CF=2AF，故②正确；③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=12BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；④根据△AEF∽△CBF得到EF与BF的比值，以及AF与AC的比值，据此求出S△AEF=12S△ABF，S△ABF=16S矩形ABCD，可得S四边形CDEF=S△ACD-S△AEF=512S矩形ABCD，即可得到S四边形CDEF=52S△ABF，故④正确．【解答】如图，过D作DM∥BE交AC于N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴AEBC＝AFCF，∵AE＝12AD＝12BC，∴AFCF＝12，∴CF＝2AF，故②正确，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝12BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正确；∵△AEF∽△CBF，∴EFBF＝AEBC＝12，∴S△AEF＝12S△ABF，S△ABF＝16S矩形ABCD，∴S△AEF＝112S矩形ABCD，又∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝12S矩形ABCD﹣112S矩形ABCD＝512S矩形ABCD，∴S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题3．已知正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结AG，CE交于点H，若3AB，2DE，则CH的长为________.【答案】91717【解析】连接EG，与DF交于N，设CD和AH交于M，证明△ANG∽ADM，得到DMADNGAN，从而求出DM的长，再通过勾股定理算出AM的长，通过证明△ADG≌△CDE得到∠DAG=∠DCE，从而说明△ADM∽△CHM，得到ADAMCHCM，最后算出CH的长.【解答】解：连接EG，与DF交于N，设CD和AH交于M，∴∠GNA=90°，DN=FN=EN=GN，∵∠MAD=∠GAN，∠MDA=∠GNA=90°，∴△ANG∽ADM，∴DMADNGAN，∵2DE，∴DF=EG=2,∴DN=NG=1，∵AD=AB=3，∴3131DM，解得：DM=34，∴MC=94，AM=223174ADDM，∵∠ADM+∠MDG=∠EDG+∠CDG，∴∠ADG=∠EDC，在△ADG和△CDE中，ADCDADGCDEDGDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴∠DAG=∠DCE，∵∠AMD=∠CMH，∴∠ADM=∠CHM=90°，∴△ADM∽△CHM，∴ADAMCHCM，即3173494CH，解得：CH=91717.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，综合性较强，解题的关键是找到合适的全等三角形和相似三角形，通过其性质计算出CH的长.4．如图，已知四边形ABCD与四边形CFGE都是矩形，点E在CD上，点H为AG的中点，3AB，2BC，1.5CE，1CF，则DH的长为______．【答案】134【解析】延长GE交AB于点M，作DNAG于.N首先求出AG、AH，由ADN∽GAM△，得ADANDNAGMGAM，求出DN、AN，HN，在RtDHN中利用勾股定理即可解决问题．【解答】延长GE交AB于点M，作DNAG于N．四边形ABCD与四边形CFGE都是矩形，四边形BFGM是矩形，213MGBFBCCF，1.5BMCEFG，1.5AMABBM，22352AGAMGM，点H为AG的中点，13524AHAG，//ADMG，DANAGM，ANDAMG，ADN∽GAM△，ADANDNAGMGAM，2333522ANDN，455AN，255DN，4315555420HNANAH，在RtDHN中，2241135804DHDNHN．故答案为134．【点睛】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．5．如图，在△ABC中，AB＝5，D为边AB上－动点，以CD为一边作正方形CDEF，当点D从点B运动到点A时，点E运动的路径长为_________．【答案】52【解析】如图，构造等腰Rt△CBG，∠CBG=90°，则由△CGE∽△CBD，得GE=2BD，即可求得点E运动的路径长．【解答】如图：作GB⊥BC于B，取GB=BC，当点D与点B重合时，则点E与点G重合，∴∠CBG=90°，∴CG=2BC，∠GCB=45，∵四边形CDEF是正方形，∴CE=2DC，∠ECD=45，∴∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG=45，∴∠BCD=∠GCE，且CGCE2BCDC，∴△CGE∽△CBD，∴GECE2BDDC，即GE=2BD，∵BD=5，∴点E运动的路径长为GE=2BD=52．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．6．已知正方形ABCD的边长为12，E、F分别在边AB、BC上，将BEF沿EF折叠，使得点B落在正方形内部（不含边界）的点B′处，DB的延长线交AB于点G．若点B′在正方形的对称轴上，且满足14ADGABCDSS正方形，则折痕EF的长为______________．【答案】55或13134【解析】根据14ADGABCDSS正方形得到点G是AB的中点，再分两种情况讨论，①如答案图l，当点'B在对角线AC上时，过点'B作'BPAB于点P，过点F作FQBC交PB的延长线于点Q，则四边形PBFO为矩形；利用相似三角形的性质即可求出EF；②答案如图2．当点B′在AD的中垂线MN上时，B′为DG的中点，过点B作BPAB于点P，过点F作FQBC交PB的延长线于点Q，得到11324APAGAB，6BP，同①即可求出EF．【解答】解：∵14ADGABCDSS正方形，∴点G是AB的中点，又∵点'B在正方形的对称轴上，∴分以下两种情况讨论：①如答案图l，当点'B在对角线AC上时，过点'B作'BPAB于点P，过点F作FQBC交PB的延长线于点Q，则四边形PBFO为矩形，∵在正方形ABCD中，//AGCD，∴12AGABCDBC，∵12AB，∴122AC，∴1423ABAC，∵45BAC，∴4APPB，8PBQF，由折叠可知'90EBFEBF°，∴PEBQBF∽，∴12BEPEBPBFBQQF，设BEBEm，2BFBFPQm，则24BQm，∴1(24)2PEm，∵PBQF，∴1(24)82mm，解得5m，∴10BF，∴2255EFBEBF；②如答案图2．当点B′在AD的中垂线MN上时，B′为DG的中点，过点B作BPAB于点P，过点F作FQBC交PB的延长线于点Q，则11324APAGAB，6BP，∴9QFBP，同理①可得13134EF，综上所述，折痕EF的长为55或13134．【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称变换，相似三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题7．如图，在RtABC中，90BAC，30ABC，//MNAC，D为BC边上一点，连接AD，作DEAD交MN于点E，连接AE．猜想线段AD与DE之间的数量关系，并证明．【答案】3DEAD，见解析【解析】过点D作DGBC交AB于点G，通过证明BDEGDA△∽△，可得DAGDDEBD，即在RtBDG中，3tan303DGBD，故33ADDE，即3DEAD．【解答】解：3DEAD．证明：如图，过点D作DGBC交AB于点G，则90BDEGDE，DEAD，90GDEADG，GDABDE，90BAC，30ABC，60C，//MNAC，180120EBDC，30ABC，DGBC，60BGD，120AGDEBD，BDEGDA△∽△，DAGDDEBD，在RtBDG中，3tan303DGBD，33ADDE，即3DEAD．【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、正切的性质是解题的关键．8．已知ABC中90,ABC∠点DE、分别在边BC、边AC上，连接,,DEDFDE点F、点C在直线DE同侧，连接,FC且ABDEkBCDF．（1）点D与点B重合时，①如图1，1k时，AE和FC的数量关系是；位置关系是；②如图2，2k时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；（2）2BDCD时，③如图3，1k时，若26,CDFAES,求FC的长度；④如图4，2k时，点MN、分别为EF和AC的中点，若10AB，直接写出MN的最小值．【答案】（1）①AE=FC；AE⊥FC；②AE=2FC；AE⊥FC；理由见解析；（2）③FC=6；④MN的最小值为53．【解析】（1）①利用SAS证出△ABE≌△CDF，从而证出AE=FC，∠A=∠DCF，然后证出∠ACF=90°即可得出结论；②根据相似三角形的判定证出△ABE∽△CDF，从而得出∠A=∠DCF，2AECF，然后证出∠ACF=90°即可得出结论；（2）③作GD⊥BC于点D，交AC于点G；作GH⊥AB于点H，交AB于点H；DM⊥AC，