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36第7章圆之证明切线的方法一、单选题1．同学小明在用一副三角板画出了许多不同度数的角，但下列哪个度数他画不出来（）A．15°B．65°C．75°D．135°【答案】B【解析】试题分析：一副三角板中有30°，45°，60°和90°，60°－45°＝15°，30°＋45°＝75°，45°＋90°＝135°，所以可画出15°、75°和135°等，但65°画不出．故选B．点睛：本题考查了角的和差运算，用一副三角板只能画出三角板上各个角的和差组成的角．二、填空题2．如图，AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，若CE＝2，则图中阴影部分的面积为___．【答案】43π﹣3．【分析】结合题意，利用三角形边长关系，得出△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等边三角形，将阴影部分的面积转化为三角形的面积，然后利用扇形面积，建立等式，计算结果，即可.【详解】连接OE、OD，点D、E是半圆的三等分点，∴∠AOE＝∠EOD＝∠DOB＝60°∵OA＝OE＝OD＝OB∴△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等边三角形，∴AB∥DE，S△ODE＝S△BDE；∴图中阴影部分的面积＝S扇形OAE﹣S△OAE+S扇形ODE＝226023223604=433．故答案为433．【点睛】考查圆综合问题，考查等边三角形的判定，关键将阴影部分面积转化为苛求的三角形面积，难度中等．3．如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体的侧面积为_____cm2．【答案】2π．【分析】结合题意，得出直径和母线的长度，发现侧面展开的图形是以2为半径的半圆，计算面积，即可．【详解】解：由题意得底面直径为2，母线长为2，∴几何体的侧面积为×2×2π＝2π，故答案为2π．【点睛】考查圆面积计算公式，关键得出侧面展开图形是一个半圆，难度中等．4．如图，AB是⊙O的直径，AB＝13，AC＝5，则tan∠ADC＝_____．【答案】512【分析】结合勾股定理，计算BC的长度，利用圆周角定理，计算结果，即可．【详解】解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝12，∴tan∠ADC＝tanB＝＝，故答案为:．【点睛】考查勾股定理，考查圆周角定理，关键得出tantanADCB，计算结果，即可，难度中等．5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y=x+2与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为__．【答案】相切【详解】解：令y=x+2=0，解得：x=﹣2，令x=0，解得：y=2，∴直线y=x+2与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B（0，2），OA=2，OB=2，∴AB=2222(2)(2)2OAOB设圆心到直线y=x+2的距离为r，则1122ABrOAOB∴r=222=1，∵半径为1，∴d=r，∴直线y=x+2与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为相切，故答案为：相切．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．三、解答题6．如图，在RtABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，在线段AC上取点E，使∠A=∠ADE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠A=30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）【答案】（1）证明见解析；（2）233．【分析】（1）如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得BODB，再根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得90ADEODB，从而可得ODDE，然后根据圆的切线的判定即可得证；（2）如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得60,2BODBDOB，再利用勾股定理可得3OH，然后利用扇形的面积公式和三角形的面积公式即可得．【详解】（1）如图，连接OD，∵ODOB，∴BODB，∵90C，90AB，90AODB，又AADE，90ADEODB，∴180()90EDOADEODB，即ODDE，∵点D在O上，即OD为O的半径，∴DE是O的切线；（2）如图，过点O作OHBD于点H，∵30,90AC，∴60B，∵2ODOB，∴OBD为等边三角形，∴60,2BODBDOB，∴2211,32BHDHBDOHOBBH，则阴影部分的面积为223360213602OBDOBDSSBDOH扇形．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式等知识点，较难的是题（2），熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键．7．如图已知AB是⊙O的直径，10AB，点C，D在⊙O上，DC平分∠ACB，点E在⊙O外，EACD．(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)求AD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）52．【分析】（1）根据圆周角定理可知，DB，由直径所对圆周角是90°，可知BÐ和BAC互余，推出D和BAC互余，EAC和BAC互余，从而证明结论．（2）DC平分∠ACB可知45DCA，根据圆周角定理可知90DOA，DOA△是等腰直角三角形，AD的长是圆半径的2倍，计算求出答案．【详解】（1）D和BÐ是AC所对圆周角，DB；AB是圆的直径，90BCA，在RtABC中，90BBAC，90DBAC，EACD，90EACBAC，BAAE，AE是⊙O的切线．（2）如图：AB是圆的直径，DC平分∠ACB，90BCA，45DCA，2DOADCA，90DOA，DOA△是直角三角形；ODOAQ，152OAAB，225552AD．【点睛】本题考查圆周角定理、勾股定理，熟练运用圆周角定理是解题关键．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点M，N，过点N作NE⊥AB，垂足为E，（1）若⊙O的半径为52，AC=6，求BN的长；（2）求证：NE与⊙O相切．【答案】（1）BN=4；（2）见解析【分析】（1）由直角三角形的性质可求AB=10，由勾股定理可求BC=8，由等腰三角形的性质可得BN=4；（2）欲证明NE为⊙O的切线，只要证明ON⊥NE．【详解】解：（1）连接DN，ON∵⊙O的半径为52，∴CD=5∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴BD=CD=AD=5，∴AB=10，∴BC=22ABAC=8∵CD为直径∴∠CND=90°，且BD=CD∴BN=NC=4（2）∵∠ACB=90°，D为斜边的中点，∴CD=DA=DB=12AB，∴∠BCD=∠B，∵OC=ON，∴∠BCD=∠ONC，∴∠ONC=∠B，∴ON∥AB，∵NE⊥AB，∴ON⊥NE，∴NE为⊙O的切线．【点睛】本题考查切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图，抛物线y＝14x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于E，点D在第一象限，且在抛物线的对称轴上，DE＝OC，DM＝254．（1）求抛物线的对称轴方程；（2）若DA＝DC，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一个动点，若在直线BM上只存在一个点Q，使∠PQC＝45°，求点P的坐标．【答案】（1）x＝5；（2）y＝14x2﹣52x+4；（3）点P的坐标为（5，9）或（5，4149）．【分析】（1）D点坐标（2ba，c），M点坐标（2ba，244acba），242544acbDMca，化简求出b值；代入计算，2bxa即是对称轴的方程．（2）利用韦达定理求出AE，AE＝12AB，AB＝2()ABxx＝2()4ABABxxxx＝10016c；在RtADE中，DE＝c，AD＝DC＝5，由勾股定理得：AD2＝DE2+AE2，即可求解．（3）作CQPV的外接圆，圆心点K到点C、Q距离相等，构造一个含坐标参数的方程，线段KQ只有一个解，利用根的判别式，计算出P点坐标．【详解】（1）∵OC＝c，DE＝OC＝c，点D在抛物线对称轴上，∴点D纵坐标为c，∵点M是抛物线顶点，∴点M的纵坐标为2424acbcba，则DM＝c﹣（c﹣b2）＝254，2254b；解得b＝52（舍去），或b＝﹣52，抛物线的对称轴为直线x＝﹣2ba＝52124=5；（2）由（1）可知抛物线的表达式为y＝14x2﹣52x+c，令y＝14x2﹣52x+c＝0，设A、B两点横坐标为xA、xB，则xA+xB＝10，xAxB＝4c，则AB＝2()ABxx＝2()4ABABxxxx＝10016c，在RtADE中，AE＝12AB，DE＝c，AD＝DC＝5，由勾股定理得：AD2＝DE2+AE2，222100165()2cc，25＝c2+25﹣4c，化简得：240cc，解得c＝4，故抛物线的表达式为y＝14x2﹣52x+4；（3）如图，连接PQ、PC、QC，作PQC△的外接圆K，连接KP、KC，过点K作y轴的垂线，交y轴于点F，交抛物线的对称轴于点N，设点K的坐标为（m，n），点P（5，t），∵∠PQC＝45°，故∠PKC＝90°，且PK＝CK＝QK，∵∠FKC+∠NKP＝90°，∠NKP+∠NPK＝90°，∴∠FKC＝∠NPK，∴RtKFC≌RtPNK（AAS），∴CF＝NK，PN＝MK，∴4﹣n＝5﹣m，t﹣n＝m，∴n＝m﹣1，t＝2m﹣1，故点K的坐标为（m，m﹣1），点P的坐标为（5，2m﹣1）．由抛物线的表达式知，顶点M的坐标为（5，﹣94），点B的坐标为（8，0），由点B、M的坐标得，直线MB的表达式为y＝34x﹣6，设点Q的坐标为（r，34r﹣6），由KC2＝KQ2得，m2+（m﹣1﹣4）2＝（m﹣r）2+（m﹣1﹣34r+6）2，整理得：2516r2﹣（72m+152）r+20m＝0，关于r的一元二次方程，∵直线BM上只存在一个点Q，r的解只有一个，∴△＝（72m+152）2﹣4×2516×20m＝0，解得m＝5或4549，点P坐标（5，t），t＝2m﹣1，当m＝5时，t＝9；当m＝4549时，t＝4149；故点P的坐标为（5，9）或（5，4149）．【点睛】本题考查勾股定理，一元二次方程根的判别式，二次函数图像性质，圆与直线关系；涵盖知识点多，理解题中“直线BM上只存在一个点Q”隐含的条件，即PQC△的外接圆与直线BM相切，这是解决第三个问题的关键．10．如图，已知P是O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，∠AOB=120∘，连接PB．(1)求BC的长；(2)求证：PB是O的切线．【答案】（1）2；（2）见解析【分析】（1）由OA=OB，弦AB⊥OC，易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长；（2）由OC=CP=2，△OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等边三角形的性质，∠OBC=60°，∠CBP=30°，则可证得OB⊥BP，继而证得PB是⊙O的切线．【详解】解：（1）∵OA=OB，弦AB⊥OC，∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB=60∘，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OC=2；（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，∴BC=CP，∴∠CBP=∠CPB，∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC=∠OCB=60∘，∴∠CBP=30∘，∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90∘，∴OB⊥BP，∵点B在O上，∴PB是O的切线．【点睛】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．11．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，DB⊥AB于B，点C是弧AB上的任一点，过点C作⊙O的切线交BD于点E．连接OE交⊙O于F．（1）求证：AD∥OE；（2）填空：连接O