专题37第7章圆之切线长基本图备战2021中考数学解题方法系统训练教师版

37第7章圆之切线长基本图一、单选题1．如图，P为O外一点，,PAPB分别切O于点,,ABCD切O于点E且分别交PAPB、于点,CD，若4PA，则PCD的周长为（）A．5B．7C．8D．10【答案】C【分析】根据切线长定理得到PB=PA、CA=CE，DE=DB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴PB=PA=4，∵CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，∴CA=CE，DE=DB，∴△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=8，故选：C．【点评】本题考查的是切线长定理的应用，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．2．如图，PA、PB、CD是O的切线，切点分别是A、B、E，CD分别交PA、PB于C、D两点，若60APB，则COD的度数（）A．50°B．60°C．70°D．75°【答案】B【分析】连接AO，BO，OE由切线的性质可得90PAOPBO，结合已知条件和四边形的内角和为360°可求出AOB的度数，再由切线长定理即可求出COD的度数.【解答】如图，连接AO，BO，OE，∵PA、PB是O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90∘，∵60APB，∴36029060120AOB，∵PA、PB、CD是⊙O的切线，∴∠ACO=∠ECO，∠DBO=∠DEO，∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，∴1602CODCOEEODAOB，故选B.【点评】本题考查了切线的性质及切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.3．如图，PA切O于点,APB切O于点BPO，交O于点C，下列结论中不一定成立的是（）A．PAPBB．PO平分APBC．ABOPD．2PABAPO【答案】D【分析】利用切线长定理证明△PAG≌△PBG即可得出．【解答】解：连接OA，OB，AB，AB交PO于点G，由切线长定理可得：∠APO＝∠BPO，PA＝PB，又∵PG=PG，∴△PAG≌△PBG，从而AB⊥OP．因此A．B．C都正确．无法得出AB＝PA＝PB，可知：D是错误的．综上可知：只有D是错误的．故选：D．【点评】本题考查了切线长定理、全等三角形的判定和性质，关键是利用切线长定理解答．4．如图，AD，AE分别是⊙O的切线，D，E为切点，BC切⊙O于F，交AD，AE于点B，C，若AD＝8．则三角形ABC的周长是()A．8B．10C．16D．不能确定【答案】C【分析】先根据切线长定理可得8,,AEADBDBFCECF，再根据三角形的周长公式、等量代换即可得．【解答】由切线长定理得：8,,AEADBDBFCECF，则三角形ABC的周长为ABBCACABBFCFAC，ABBDCEAC，ADAE，88，16，故选：C．【点评】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题关键．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（）A．133B．92C．4133D．25【答案】A【解析】试题解析：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF=BF=AE=BG=2，∴DE=3，∵DM是⊙O的切线，∴DN=DE=3，MN=MG，∴CM=5-2-MN=3-MN，在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，∴（3+NM）2=（3-NM）2+42，∴NM=43，∴DM=3+43=133，故选B．考点：1.切线的性质；3.矩形的性质．6．将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=3，则四边形AB1ED的内切圆半径为（）A．312B．332C．313D．333【答案】B【解析】作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，过O作OF⊥AB1，则∠OAF=30°，∠AB1O=45°，故B1F=OF=12OA，设B1F=x，则AF=3﹣x，故（3﹣x）2+x2=（2x）2，解得1332x或2332x（舍去），∴四边形AB1ED的内切圆半径为：332．故选B．二、填空题7．如图，⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，△ABC的周长为18，则AE＝____．【答案】9．【分析】根据切线的性质得出BE＝BD，DC＝CF，进而解答即可．【解答】解：∵⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，∴BE＝BD，DC＝CF，AF＝AE，∵△ABC的周长为18，即AC+BC+AB＝AB+DB+DC+AC＝AB+BE+AC+CF＝18，∴AE+AF＝18，∴AE＝9，故答案为：9．【点评】本题考查的知识点是切线的性质，根据切线的性质得出BE＝BD，DC＝CF，AF＝AE是解此题的关键．8．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=13，BD=3，则AC的长为____________．【答案】10【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出AC的长．【解答】解：,ACAP为O的切线，ACAP，,BPBD为O的切线，3BPBD13310ACAPABBP，故答案为：10．【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．9．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径为5cm，OP的长为13cm，则△PDE的周长是_______cm．【答案】24【分析】如图，作辅助线，首先证明PA=PB=12cm；进而证明DE=EA+DB，问题即可解决．【解答】连接OA，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，PA=PB；由勾股定理得：PA2=PO2-OA2=169-25=144（cm），∴PA=PB=12cm；∵EA、EC、DC、DB均为⊙O的切线，∴EA=EC，DB=DC，∴DE=EA+DB，∴PE+PD+DE=PA+PB=24（cm），即△PDE的周长为24cm．故答案为：24．【点评】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断．10．如图，RtABC中，90C，6AC，8BC，则ABC的内切圆半径为________．【答案】2【分析】先由勾股定理求出AB的长，再根据切线性质和正方形的判定这证得四边形OECF是正方形，然后利用切线长定理求得半径r即可．【解答】如图，∵在RtABC，90C，6AC，8BC∴由勾股定理得：2210ABACBC，∵圆O为ABC的内切圆，∴OEOF，90OECOFCC；四边形OECF是正方形；由切线长定理，得：ADAF，BDBE，CECF；1()2CECFACBCAB，即：1(6810)22r，故答案为：2．【点评】本题考查了切线的性质、正方形的判定与性质、切线长定理、勾股定理，熟练掌握切线性质和切线长定理是解答的关键．三、解答题11．如图，AB是O直径，,BDCD分别过O上点B,C的切线，且110BDC，连接AC．（1）求A的度数；（2）若O的直径为6，求BC的长（结果保留π）．【答案】（1）35；（2）76【分析】（1）连接OC，利用切线的性质及四边形的内角和，求出∠BOC的度数，再利用圆周角定理即可求出结果；（2）第（1）问已经求出∠BOC的度数，利用弧长公式求解即可．【解答】（1）连接OC，如图1：因为BD,CD分别是切线所以90OBDOCD360BOCBDCOBDOCD36070BOCBDCOBDOCD12ABOC170352A(2)因为圆的直径为6，所以半径为3，70BOC，BC的长度为70371806．【点评】本题考查圆的相关性质和弧长计算，牢记切线的性质、圆周角定理及弧长计算公式是解题的关键．12．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．（1）如图1，证明：OD∥BC；（2）如图2，若AD是⊙O的切线，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，且OA＝5，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）EF＝2．【分析】（1）连接OC，证明△OAD≌△OCD（SSS）得∠ADO=∠CDO，由AD=CD知DE⊥AC，再由AB为直径知BC⊥AC，从而得OD∥BC；（2）连接AF，过F作FM⊥EF交OD于M，推出△ABD为等腰直角三角形，求得∠AFB=90°，∠DAF=∠45°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）连接OC，在△OAD和△OCD中，ADCDOAOCODOD，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠ADO＝∠CDO，又AD＝CD，∴DE⊥AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，∴OD∥BC；（2）连接AF，过F作FM⊥EF交OD于M，∵AB＝AD，AD是圆的切线，∴△ABD为等腰直角三角形，∵AB为直径，∴∠AFB＝90°，∠DAF＝∠45°，∵∠AED＝∠AFD＝90°，∴∠DAF＝∠DEF＝45°，∴AF＝DF，∴∠AFE＝∠DFM，∵∠EAF＝∠FDM，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴AE＝DM，∵25ABAD，OA＝5，∴OD＝22OAAD＝5，∴AE＝DM＝5255＝2，DE＝4，∴EM＝4﹣2＝2，∴EF＝2．【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．（1）求BF的长；（2）求⊙O的半径r．【答案】（1）BF＝10；（2）r=2．【分析】（1）设BF＝BD＝x，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．（2）证明四边形OECF是矩形，推出OE＝CF即可解决问题．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，∴AC＝22ABBC＝221312＝5，∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，设BF＝BD＝x，则AD＝AE＝13﹣x，CFCE＝12﹣x，∵AE+EC＝5，∴13﹣x+12﹣x＝5，∴x＝10，∴BF＝10．（2）连接OE，OF，∵OE⊥AC，OF⊥BC，∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，∴四边形OECF是矩形，∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2．即r＝2．【点评】本题考查三角形的内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．如图，AB是O的直径，点C是O上一点，连接BC并延长交过点A的切线于点E，过点C作O的切线交AE于点D．（1）求证：点D是AE的中点．（2）①连接OC，当ABC_______°时，四边形AOCD是正方形；②连接AC，当ΔΔ:1:4ADCBOCSS，25AB时，ABES_______．【答案】(1)证明见解析；(2)①45；②5【分析】(1)由切线长定理得到DC=DA，进一步得到∠DCA=∠DAC，再证明∠E=∠DCE，即可得到DE=DC=DA，进而得到D是AE的中点；(2)①由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可知，当∠ABC=45°时，∠ABC=90°=∠DCO=∠DAO，且OC=OA，此时四边形AOCD是正方形；②证明△DAC∽△OB