专题38第7章圆之垂径切线图备战2021中考数学解题方法系统训练教师版

38第7章圆之垂径切线图一、单选题1．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（）A．3B．32C．1D．2【答案】C【分析】由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，利用特殊角的三角函数值即可求出OD．【详解】解：∵OD⊥弦BC，∴∠BDO＝90°，∵∠BOD＝∠BAC＝60°，∴OD＝12OB＝1，故答案选：C．【点评】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、特殊角的三角函数计算．2．⊙O的直径为26cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB和CD之间的距离为（）cmA．7B．5C．7，17D．5，17【答案】C【分析】作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA、OC，如图，根据平行线的性质得OF⊥CD，再利用垂径定理得到AE=12AB=12，CF=12CD=5，接着根据勾股定理，在RtOAE△中计算出OE=5，在RtOCF△中计算出OF=12，然后分类讨论：当圆心O在AB与CD之间时，EF=OF+OE；当圆心O不在AB与CD之间时，EF=OF-OE．从而可得答案．【详解】解：作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA、OC，由⊙O的直径为26cm，则⊙O的半径为13cm，如图，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AE=BE=12AB=12，CF=DF=12CD=5，在RtOAE△中，∵OA=13，AE=12，∴OE=225,OAAE在RtOCF△中，∵OC=13，CF=5，∴OF=2212,OCCF当圆心O在AB与CD之间时，EF=OF+OE=12+5=17；当圆心O不在AB与CD之间时，EF=OF-OE=12-5=7；即AB和CD之间的距离为7cm或17cm．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．学会运用分类讨论的思想解决数学问题是解题的关键．3．如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，弦CD⊥AB于E，AB=10，CD=8，则OE的长为()A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】先根据垂径定理得出CE的长，再根据勾股定理求出OE即可．【详解】连接OC．∵直径AB=10，∴OC=5．∵CD⊥AB，AB为直径，∴CD=2CE=8，∠OEC=90°，∴CE=4，由勾股定理得：OE22543．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，利用垂径定理求出CE的长是解题的关键．4．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4），则PD•CD的最大值是（）．A．2B．3C．4D．6【答案】A【分析】过点O向BC作垂线OH，垂足为H，由垂径定理得到H为PD的中点，设PC=x，根据CD=PC-PD，进而求出PD·CD，整理后得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值．【详解】过点O向BC作垂线OH，垂足为H，∵PD是⊙O的弦，OH⊥PD，∴PH=HD.∵∠CHO=∠HCA=∠OAC=90°，∴四边形OACH为矩形，∴CH=OA=2，∵PC=x，∴PH=HD=PC-CH=x-2，∴CD=PC-PD=x-2(x-2)=4-x，∴PD·CD=2(x-2)(4-x)=-2x2+12x-16=-2(x-3)2+2，∵2＜x＜4，∴当x=3时，PD·CD的值最大，最大值是2，故选：A．【点评】本题主要考查了垂径定理、矩形的判定与性质、二次函数的性质，作OH⊥BC，利用垂径定理求解是解答的关键．5．如图，已知2,0A，B为反比例函数kyx的图象上一点，以AB为直径的圆的圆心C在y轴上，C与y轴正半轴交于0,4D，则k的值为（）A．4B．5C．6D．8【答案】C【分析】过B点作BH⊥x轴于H点，由AB为直径，推出H在圆上，再由垂径定理求出OH的长，再在△COH中由勾股定理求出圆的半径，进而求出CO，最后再求出BH，求得k的值.【详解】解：过B点作BH⊥x轴于H点，连接CH，如下图所示：∵AB为圆的直径，且∠AHB=90°由直径所对的圆周角为90°知：H必在圆C上.又AH⊥y轴，由垂径定理知：OA=OH=2.设圆的半径CD=CH=r，则CO=DO-CD=4-r在Rt△COH中，由勾股定理有：222=CHCOOH∴222(4)2rr，解得52r∴CO=4r=32又O为AH的中点∴CO为△ABH的中位线∴BH=2CO=3∴B点坐标为(2,3),故k=6.故答案为：C.【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理及其推论、中位线定理、反比例函数解析式的求法，属于综合题，熟练掌握圆周角定理及推论是解决此题的关键.6．如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，22.5CAO，8OC，则弦CD的长为（）A．82B．42C．83D．43【答案】A【分析】先根据垂径定理得到CE=DE，再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=45°，则△OCE为等腰直角三角形，所以CE=22OC=42，从而得到CD的长．【详解】解：∵CD⊥AB，∴CE=DE，∵∠BOC=2∠A=2×22.5°=45°，∴△OCE为等腰直角三角形，∴CE=sin45°×OC=22×8=42，∴CD=2CE=82．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理，以及锐角三角函数的知识．二、填空题7．如图，两个同心圆，大圆的弦AB切小圆于点C，且AB＝10，则图中阴影部分面积为_____．【答案】25【分析】如图（见解析），先根据圆的切线的性质可得OCAB，再根据垂径定理可得5AC，然后利用勾股定理可得2225OAOC，最后根据阴影部分面积等于大圆面积减去小圆面积即可得．【详解】如图，连接OA、OC，由圆的切线的性质得：OCAB，由垂径定理得：1110522ACAB，在RtAOC△中，2222525OAOCAC，则图中阴影部分面积为2222()25OAOCOAOC，故答案为：25．【点评】本题考查了圆的切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键．8．如图所示，抛物线268yxx与x轴交于A、B两点，过点B的直线与抛物线交于点C（点C在x轴上方），过ABC三点的⊙M满足∠MBC=45°，则点C的坐标为_________．【答案】（5，3）【分析】作MDx轴，CEx轴，MFCE，垂足分别为D、E、F，连接DF，求出CF=BD=1，3DMMFFEx，求出CE=x-2，再由点C在抛物线上，设C2,68xxx，可得方程2268xxx，求解方程即可．【详解】作MDx轴，CEx轴，MFCE，垂足分别为D、E、F，连接DF，则90DMFM中，CMBM，90MFCMDB，45MBC90BMC90DMFBMDCMFCMFBMD设点C的坐标为2,68xxx对于268yxx，令y=0，则2680xx，解得，12x，24x(2,0),(4,0)AB422AB∵MD⊥AB,∴BD=11CFBD3DMMFx3EFDMx，2CECFEFx，2268xxx，解得，12x（舍去），25x，2523x(5,3)C故答案为（5，3）．【点评】此题主要考查了圆的基本性质和抛物线上点的坐标特征，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答本题的关键．9．如图，圆柱形水管的截面半径是1m，阴影部分为有水部分，水面宽1.6ABm，则水的最大深度是__________m．【答案】1.6【分析】如图（见解析），先根据圆的性质得出水的最大深度为CD的长，再根据垂径定理、勾股定理求出OC的长，由此即可得．【详解】如图，设圆心为点O，过点O作OCAB于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA由圆的性质可知，圆的半径为1OAODm，水的最大深度为CD的长由垂径定理得：10.82ACABm在RtAOCV中，222210.80.6()OCOAACm则0.611.6()CDOCODm即水的最大深度是1.6m故答案为：1.6．【点评】本题考查了圆的性质、垂径定理、勾股定理等知识点，理解题意，正确找出水的最大深度为CD的长是解题关键．10．如图所示，在O中，AB为弦，OCAB交AB于点D，且,ODDCP为O上任意一点，连接PA，PB，若O的半径为1，则PABS的最大值为___________．【答案】334【分析】如图（见解析），先根据垂径定理求出AB的长，再根据圆的性质得出AB边上高的最大值，然后利用三角形的面积公式即可得．【详解】如图，连接OAO的半径为11OAOCODDC1122ODDCOCOCAB，OC为圆的半径2ABAD在RtAOD△中，2232ADOAAD3232AB要使PABS取得最大值，则AB边上的高需最大，即点P到AB的距离需最大由圆的性质可知，当点,,POD共线时，点P到AB的距离最大，最大值为13122OPOD则13333224PABS故答案为：334．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识点，利用圆的性质得出AB边上的高的最大值是解题关键．11．如图，AB是圆O的直径，CD⊥AB于点E，交圆O于点D，OF⊥AC于点F，BD=5，则OF=__________________________．【答案】52【分析】利用垂径定理可得BCBD，推出BD=BC，再根据三角形的中位线定理可得BC=2OF，即可解决问题．【详解】∵直径AB⊥弦CD，∴BCBD，∴BD=BC=5，∵OF⊥AC，∴AF=FC，∵OA=OB，∴OF是三角形ABC的中位线,∴2OF=15BC22，故答案为：52．【点评】本题考查垂径定理、三角形中位线定理等知识，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．12．已知PAPB、分别切O于点AB、，C为O上不同于AB、的一点，80P，则ACB的度数是_______．【答案】50或130【分析】连接OA、OB，先确定∠AOB，再分就点C在AB上和ABC上分别求解即可．【详解】解：如图，连接OA、OB，∵PA、PB分别切O于A、B两点，∴∠PAO=∠PBO=90°∴∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°，当点C1在ABC上时，则∠AC1B=12∠AOB=50°当点C2在ABB上时，则∠AC2B+∠AC1B=180°，即.∠AC2B=130°．故答案为50或130．【点评】本题主要考查了圆的切线性质和圆周角定理，根据已知条件确定∠AOB和分类讨论思想是解答本题的关键．三、解答题13．如图，已知AB是O的直径，C，D是O上的点，//OCBD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AEED；（2）若6AB，30ABC，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）9334【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据平行线的性质得到∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，于是得到结论；（2）连接CD，OD，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠OBC=30°，根据平行线的性质得到∠OCB=∠CBD=30°，求得∠AOD=120°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，又∵OC为半径，∴AE=ED；（2）解：连接CD，OD，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=30°，∴∠AOC=∠OCB+∠OBC=60°，∵OC∥