专题39第7章圆之三角形的内切圆备战2021中考数学解题方法系统训练教师版

39第7章圆之三角形的内切圆一、单选题1．若RtABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r，则其内切圆的面积与RtABC的面积比为（）A．22rrRB．2rRrC．42rRrD．4rRr【答案】B【分析】画好符合题意的图形，由切线长定理可得：,,,CECFrAEAGmBFBGn结合勾股定理可得：22,mnRrr再求解直角三角形的面积21==22ACBSmrnrRrr，从而可得直角三角形的内切圆的面积与直角三角形的面积之比．【详解】解：如图，由题意得：902ACBABR，，111OEOFOGr，由切线长定理可得：,,,CECFrAEAGBFBG设,,AEAGmBFBGn222mrnrmn，2,mnR2mnmnrr，22,mnRrr而211=+22ACBSmrnrmnmrnrr221=222RrrRrr2=2Rrr122.22OABCSrrSRrrRr故选B．【点评】本题考查的是三角形的内切圆与三角形的外接圆，切线长定理，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．2．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF上一点，则∠EPF的度数是（）A．65°B．60°C．58°D．50°【答案】B【分析】连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．【详解】解：如图，连接OE，OF．∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，∴OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠OEB=∠OFB=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴∠EOF=120°，∴∠EPF=12∠EOF=60°，故选：B．【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．如图，已知矩形ABCD的周长为16，E和F分别为ABC和ADC的内切圆，连接AE，CE，AF，CF，EF，若37AECFABCDSS四边形矩形，则EF的长为（）A．32B．23C．27D．43【答案】B【分析】设AB=x，BC=y，内切圆半径为r，由矩形的对称性知ABCEADCFSS四边形四边形，结合直角三角形内切圆半径与三角形面积间的关系得到x、y、r的关系式，再由37AECFABCDSS四边形矩形推导出x、y、r的关系，从而分别求出r，xy、22xy的值，最后由勾股定理求得EF值.【详解】如图，设AB=x，BC=y，内切圆半径为r，则AC=22xy∵矩形ABCD的周长为16，∴x+y=8①∵E和F分别为ABC和ADC的内切圆，∴2211()22ABCSxyxyxyr②由矩形的对称性知ABCEADCFSS四边形四边形，∵37AECFABCDSS四边形矩形，∴247ABCEABCDSS四边形矩形，∴112()4227xryrxy，即()47xyrxy③由①、②、③联立方程组，解得：r=1，xy=14，2236xy，作EH⊥FH于H，由勾股定理得：222EFEHFH22(2)(2)xy224()8xyxy=36-32+8=12，∴EF=23，故选：B.【点评】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形内切圆性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形内切圆半径与面积、周长间的关系是解答的关键.4．如图，ABC中，8AB，6AC，90A，点D在ABC内，且DB平分ABC，DC平分ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若APQ与ABC相似，则线段PQ的长为（）A．5B．356C．5或356D．6【答案】B【分析】分△APQ∽△ABC，△APQ∽△ACB两种情况，结合相似三角形的性质和三角形内切圆求解即可.【详解】解：若△APQ∽△ABC，∴∠APQ=∠ABC，∴PQ∥BC，APAQPQABACBC，∴∠PDB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠PBD=∠CBD，∴∠PBD=∠PDB，∴PB=PD，同理，DQ=CQ，∵8AB，6AC，90A，∴BC=2268=10，设AP=x，根据APAQABAC得43APABAQAC,∴AQ=34x，∴PB=PD=8-x，CQ=DQ=6-34x，∴PQ=PD+QD=7144x，∴APPQABBC=，即7144810xx，解得：x=143，∴PQ=356；若△APQ∽△ACB，则APAQPQACABBC，由题意知：D为△ABC的内心，设△ABC的内切圆交AB于M，交AC于N，可知四边形AMDN为正方形，∴∠A=∠AMD=∠AND=∠MDN=90°，∴AM∥DN，AN∥DM，∴∠MPD=∠NDQ，∠MDP=∠NQD，∴△MPD∽△NDQ，∴MPMDNDNQ，∵AB=8，AC=6，BC=10，∴DM=DN=68102=2，∴AM=AN=2，设PM=x，则22xNQ，∴NQ=4x，∵APAQACAB，即42268xx，解得：x=32或-2（舍），∴AP=32+2=72，∴PQ=AP×BC÷AC=72×10÷6=356.综上：PQ的值为356.故选B.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形内切圆，角平分线的定义，有一定难度，解题的关键是将三角形相似分两种情况讨论.5．正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为3:2，则这个多边形的内角和为（）A．720B．360C．240D．180【答案】A【分析】设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，在直角△AOC中，利用三角函数求得∠AOC的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，求出边数，根据内角和公式即可求出多边形的内角和.【详解】如图：∵正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为3:2，∴半径之比为3:2，设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，32OCOAOBkk，，在直角△AOC中，32OCcosAOCAO，∴∠AOC=30°，∴∠AOB=60°，则正多边形边数是：360660，∴多边形的内角和为：62180720，故选：A．【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，正多边形的计算一般是转化成半径，边心距、以及边长的一半这三条线段构成的直角三角形的计算．二、填空题6．如图，在RtABC中，90C，8AC，6BC，⊙O为ABC的内切圆，OA，OB与⊙O分别交于点D，E．则劣弧DE的长是_______．【答案】32【分析】先利用勾股定理计算出10AB，再利用直角三角形内切圆半径的计算方法得到681022OD，接着三角形角平分线的性质得到135AOB，然后根据弧长公式计算劣弧DE的长．【详解】解：90C，8AC，6BC，226810AB，O为ABC的内切圆，681022OD，OA平分BAC，OB平分ABC，1190909013522AOBC，劣弧DE的长135231802．故答案为32．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了直角三角形内切圆半径的计算方法和弧长公式．7．如图，ABC的内切圆O与BC,CA,AB分别相切于点,,DEF，且5,13ABBC，12CA，则阴影部分的面积为_______(结果保留)．【答案】262【分析】先根据勾股定理的逆定理得出ABC是直角三角形，再设O的半径为r，根据三角形的面积公式得出r的值，然后根据正方形的判定与性质、扇形的面积公式、三角形的面积公式即可得．【详解】5,2,113ABBCCA222ABCAABABC是直角三角形，且90A设O的半径为r，则ODOEOFr内切圆O与BC,CA,AB分别相切于点,,DEF,,ODBCOECAOFABABCOBCOACOABSSSS11112222ABACBCODCAOEABOF即1111512131252222rrr解得2r=又,,90OECAOFABA四边形AEOF是矩形，90EOFOEOF矩形AEOF是正方形则ABCOAEOFEOFEOFSSSSSS阴影扇形扇形222190902360360rrABACrOEOF22219029025122222360360262故答案为：262．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内切圆的性质、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，掌握三角形内切圆的性质与扇形的面积公式是解题关键．8．若△ABC的三边长为3、4、5，则△ABC的外接圆半径R与内切圆半径r的差为___．【答案】32【分析】先证明△ABC为直角三角形，然后可知外接圆的半径为斜边的一半，然后求出内切圆的半径，即可得到答案．【详解】解：如图所示：连接DF，EF．∵32+42=52，∴△ABC为直角三角形．∴它的外接圆的半径为：15522R．∵AB是圆的切线，DF是圆的半径，∴DF⊥AB．同理EF⊥BC．∴∠FDB=∠DBE=∠BEF=90°．∴四边形DBEF是矩形．∵DF=EF，∴四边形DBEF是正方形．∴DB=BE．设圆F的半径为r，则4-r+3-r=5．解得：r=1．∴它的内切圆的半径为1．∴53122．故答案为：32．【点评】本题主要考查的是三角形的内切圆、外接圆，利用切线长定理列出方程是解题的关键．9．如图，O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若108AOB，则COD的度数是____________．【答案】72【分析】如图，设四个切点分别为点,,,EFGH，分别连接切点与圆心，可以得到4对全等三角形，进而得到12，34，56，78，根据这8个角和为360°，∠1+∠8=108AOB，即可求出COD=∠5+∠4=72°．【详解】解：设四个切点分别为点,,,EFGH，分别连接切点与圆心，则OEAB，OFCB，OGCD，OHAD且OEOFOGOH，在RtBEO与RtBFO中OEOFOBOB∴RtBEORtBFO≌，∴12，同理可得：34，56，78，1145(3456)[360(1278)]22COD11[3602(18)][3602108]7222．故答案为：72【点评】本题考查了切线的性质，添加辅助线构造全等等知识点，一般情况下，已知直线为圆的切线，构造过切点的半径是常见辅助线做法．10．如图，将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M处。点D落在点D¢处，MD与AD交于点G，则AMG的内切圆半径的长为___________．【答案】43【分析】由勾股定理可求ME＝5，BE＝3，通过证明△AMG∽△BEM，可得AG＝163，GM＝203，即可求解．【详解】解：∵将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M处，∴ME＝CE，MB＝12AB＝4＝AM，ECDMТ=Ð＝90°，在Rt△MBE中，ME2＝MB2＋BE2，∴ME2＝16＋（8－ME）2，∴ME＝5,∴BE＝3，∵DADMEB¢=行＝90°＝∠B，∴∠EMB＋∠BEM＝90°，DEMBAM＋行¢＝90°,∴ABMMDE??¢,且GAMB?＝90°，∴△AMG∽△BEM，∴AMAGGMBEMBME，∴4345AGGM，∴AG＝163，GM＝203，∴△AMG的内切圆半径的长＝+423AMGMAG－故答案为：43【点评】本题考查三角形内切圆和内心、勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握