专题40第7章圆之内外心综合备战2021中考数学解题方法系统训练教师版

40第7章圆之内外心综合一、单选题1．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（）．A．AEDB．ABD△C．BCD△D．ACD△【答案】D【分析】根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，可以依次判断．【详解】答：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O到A，B，C，D，E的距离中，只有OA=OC=OD．故选：D．【点评】此题主要考查了三角形外心的性质，即到三角形三个顶点的距离相等．2．已知等边三角形ABC．如图，（1）分别以点A，B为圆心，大于的12AB长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；（2）作直线MN交AB于点D；（2）分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于H，L两点；（3）作直线HL交AC于点E；（4）直线MN与直线HL相交于点O；（5）连接OA，OB，OC．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①OB＝2OE；②AB＝2OA；③OA＝OB＝OC；④∠DOE＝120°，正确的是（）A．①②③④B．①③④C．①②③D．③④【答案】B【分析】根据等边三角形的性质，三角形的外心，三角形的内心的性质一一判断即可．【详解】解：由作图可知，点O是△ABC的外心，∵△ABC是等边三角形，∴点O是△ABC的外心也是内心，∴OB＝2OE，OA＝OB＝OC，∵∠BAC＝60°，∠ADO＝∠AEO＝90°，∴∠DOE＝180°﹣60°＝120°，故①③④正确，故选：B．【点评】本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，AOB为Rt，点A的坐标是10，，60BAO，把RtAOB绕点A按顺时针方向旋转90后，得到RtAOB，则RtAOB的外接圆圆心坐标是（）A．31122，B．3122，C．1312，D．11322，【答案】A【分析】取AB'中点P，过点P分别作PE⊥x轴，根据旋转的性质可得AB＝AB'，∠BAB'＝90°，∠B'O'A＝∠BOA＝90°，先说明RtAOB的外接圆圆心为点P，再利用点A的坐标是10，，60BAO，求得AB长，进而可得AB'的长，在求得∠PAE＝30°，在Rt△PAE中，利用30°角的性质及勾股定理即可求得答案．【详解】解：如图，取AB'中点P，过点P分别作PE⊥x轴，垂足为点E，连接PO'，∵把RtAOB绕点A按顺时针方向旋转90后，得到RtAOB，∴AB＝AB'，∠BAB'＝90°，∠B'O'A＝∠BOA＝90°，∵点P为AB'的中点，∴PA＝PB'＝PO'＝12AB'，∴RtAOB的外接圆圆心为点P，∵∠BAO＝60°，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝90°－∠BAO＝30°，∴OA＝12AB，∵点A的坐标为（1，0），∴OA＝1，∴AB'＝AB＝2OA＝2，∴PA＝12AB'＝1，∵∠BAB'＝90°，∠BAO＝60°，∴∠PAE＝180°－∠BAB'－∠BAO＝30°，∴PE＝12PA＝12,∴在Rt△PEA中，1322221()22AEPAPE，∴点P的坐标为31122，．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理，直角三角形的外接圆等相关知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解决本题的关键．4．已知等边三角形的周长为6，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（）A．6πB．3πC．πD．2π【答案】C【分析】根据题意画出图形，由等边三角形的周长为6，可得BC＝2，设点D为BC边与内切圆的切点，连接AD，则AD⊥BC，可得BD＝DC＝12BC＝1，再根据勾股定理可得OB2﹣OD2＝BD2＝1，再根据S圆环＝S外接圆﹣S内切圆即可得结论．【详解】解：如图，∵等边三角形ABC的周长为6，∴BC＝2，设点D为BC边与内切圆的切点，连接AD，则AD⊥BC，∴BD＝DC＝12BC＝1，在Rt△BOD中，根据勾股定理，得OB2﹣OD2＝BD2＝1，∴S圆环＝S外接圆﹣S内切圆＝OB2π﹣OD2π＝BD2π＝π．故选：C．【点评】本题考查三角形的外接圆与内切圆，掌握正三角形的外接圆与内切圆半径求算是解题关键．5．如图，扇形AOD中，90AOD，6OA，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），PQOD于Q，点I为OPQ△的内心，过O，I和D三点的圆的半径为r．则当点P在弧AD上运动时，r的值满足（）A．03rB．3rC．332rD．32r【答案】D【分析】连OI，PI，DI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-12（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易证△OPI≌△ODI，得到∠DIO=∠PIO=135°，所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，在优弧AO取点P′，连P′D，P′O，可得∠DP′O=180°-135°=45°，得∠DO′O=90°，O′O=32．【详解】解：如图，连OI，PI，DI，∵△OPH的内心为I，∴∠IOP=∠IOD，∠IPO=∠IPH，∴∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-12（∠HOP+∠OPH），而PH⊥OD，即∠PHO=90°，∴∠PIO=180°-12（∠HOP+∠OPH）=180°-12（180°-90°）=135°，在△OPI和△ODI中，IOIOPOIDOIODOP，∴△OPI≌△ODI（SAS），∴∠DIO=∠PIO=135°，所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，在优弧DO取点P′，连P′D，P′O，∵∠DIO=135°，∴∠DP′O=180°-135°=45°，∴∠DO′O=90°，而OD=6，∴OO′=DO′=32，∴r的值为32，故选D．【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．二、填空题6．如图，O是ABC的外接圆，45BAC，ADBC于点D，延长AD交O于点E，若4BD，1CD，则DE的长是_________．【答案】4152【分析】连结OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，根据圆周角定理可得∠BOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得DG，AG，可求AD，再根据相似三角形的判定和性质可求DE．【详解】解：连结OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BD＝4，CD＝1，∴BC＝4＋1＝5，∴OB＝OC＝522，∴OA＝522，OF＝BF＝52，∴DF＝BD−BF＝32，∴OG＝32，GD＝52，在Rt△AGO中，AG＝2241=2OAOG，∴AD＝AG＋GD＝41+52，∵连接BE,AD与BE相交于D，∴∠BED=∠ACD，∠BDE=∠ADC，∴△BDE∽△ADC，∴BDDEADCD4141524152BDCDDEAD．故答案为：4152．【点评】考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的难点是求出AD的长．7．ABC内接于O，且ABAC，点O到BC的距离为3，圆的半径为5，则AB的长是____．【答案】45或25【分析】如图（见解析），过点A作ADBC于点D，先根据等腰三角形的判定与性质可得AD为BC的垂直平分线，再根据三角形外接圆的性质可知圆心点O在直线AD上，然后分ABC为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形两种情况，分别利用勾股定理即可得．【详解】如图，过点A作ADBC于点DABACABC为等腰三角形AD为BC的垂直平分线（等腰三角形的三线合一）ABC内接于O圆心点O在直线AD上由题意得：3,5ODOAOB根据ABC的形状，分以下两种情况：（1）如图1，ABC为锐角等腰三角形358ADODOA，2222534BDOBOD在RtABD△中，22228445ABADBD（2）如图2，ABC为钝角等腰三角形532ADOAOD，2222534BDOBOD在RtABD△中，22222425ABADBD综上，AB的长为45或25故答案为：45或25．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形外接圆的性质、勾股定理等知识点，利用三角形外接圆的性质得出圆心点O的位置是解题关键．8．如图，AB是⊙O的直径，且AB=4，点C是半圆AB上一动点（不与A，B重合），CD平分∠ACB交⊙O于点D，点I是△ABC的内心，连接BD．下列结论：①点D的位置随着动点C位置的变化而变化；②ID=BD；③OI的最小值为21；④ACBC=2CD．其中正确的是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）【答案】②④【分析】①在同圆或等圆中，根据圆周角相等，则弧相等可作判断；②连接IB，根据点I是△ABC的内心，得到ABICBI，可以证得DBIDIB，即有IDBD，可以判断②正确；③当OI最小时，CD经过圆心O，作IEBC，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，可求出222IO，可判断③错误；④用反证法证明即可．【详解】解：CD平分ACB，AB是⊙O的直径，45ACDBCD，ADBD，ABQ是O的直径，D∴是半圆的中点，即点D是定点；故①错误；如图示，连接IB，∵点I是△ABC的内心，∴ABICBI又∵45ABDACD，∴45DBIABDABIABI45DIBDCBCBIABI即有DBIDIB∴IDBD，故②正确；如图示，当OI最小时，CD经过圆心O，过I点，作IEBC，交BC于E点∵点I是△ABC的内心，CD经过圆心O，∴IOIE，∵45BCD∴CIE是等腰直角三角形，又∵4AB，∴2IC，设IOx，则=IECEx，2ICx，∴2222xxx，解之得：222x，即：222IO，故③错误；假设2ACBCCD，∵点C是半圆AB上一动点，则点C在半圆AB上对于任意位置上都满足2ACBCCD，如图示，当CD经过圆心O时，22ACBC，4CD，∴2224222CACBDC与假设矛盾，故假设不成立，∴2ACBCCD故④正确；综上所述，正确的是②④，故答案是：②④【点评】此题考查了三角形的内心的定义和性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形外接圆有关的性质，角平分线的定义等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．9．如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C、在直角坐标系中的坐标分别为3,6，3,3，7,2，则ABC内心的坐标为______．【答案】（2，3）【分析】根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，计算出△ABC各边的长度，易得该三角形是直角三角形，设BC的关系式为：y=kx+b，求出BC与x轴的交点G的坐标，证出点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线，三角形的内心在BD上，设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，求出r的值，在△BEM中，利用勾股定理求出BM的值，即可得到点M的坐标．【详解】解：根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，根据题意可得：AB=223635，AC=224845，BC=2251055，∵222ABACBC