专题42第8章几何中的最值问题之和长度有关的最值之多线段的最值备战2021中考数学解题方法系统训练教

42第8章几何中的最值问题之和长度有关的最值之多线段的最值一、单选题1．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝4，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（）A．6B．25C．8D．213【答案】D【分析】由正方形的性质得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴PB＝PD，∴PB+PE＝PD+PE＝DE．∵BE＝2，AE＝4，∴AD＝AB＝6，∴DE＝2246＝213，故PB+PE的最小值是213．故选：D．【点评】本题考查轴对称—最短路线问题，其中涉及正方形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键2．如图，正方形ABCD中，4AB，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PEPB的最小值为（）A．4B．25C．42D．43【答案】B【分析】由正方形的中心对称性质，可得PEPB的最小值即是DE的值，再由勾股定理解题计算即可．【解答】连接DE，交AC于点P，连接BD，点B与点D关于AC对称，DE的长即为PEPB的最小值，4ABE，是BC的中点，2CE∴，在tRCDE中，22224225DECDCEPEPB的最小值是25．故选：B．【点评】本题考查两点对称的性质、两点间的距离、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF＋DE的最小值为（）A．12B．20C．48D．80【答案】D【分析】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF＋DE＝AE＋DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．【解答】解：解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE，所以AE＋DE＝DH．在Rt△ADH中，DH2＝AH2＋AD2＝82＋42＝80∴DH＝45∴BF＋DE最小值为45故选：D．【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．4．如图，在菱形ABCD中，60A，3AB，A，B的半径分别为2和1，P，E，F分别是CD边、A和B上的动点，则PEPF的最小值是（）A．333B．2C．3D．33【答案】C【分析】利用菱形的性质及相切两圆的性质得出P与D重合时PEPF的最小值，进而求解即可．【解答】解：作点A关于直线CD的对称点A´，连接BD，DA´，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，∵∠BDC=∠ADB=60°，∴∠ADN=60°，∴∠A´DN=60°，∴∠ADB+∠ADA´=180°，∴A´，D，B在一条直线上，由此可得：当点P和点D重合，E点在AD上，F点在BD上，此时PEPF最小，∵在菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD为等边三角形，∴BD=AB=AD=3，∵⊙A，⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2，∴PEPF的最小值为3．故选C．【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，点与圆的位置关系等知识．根据题意得出点P位置是解题的关键．5．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD=3.5cm，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP=AQ=2cm，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（）A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm【答案】C【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′，【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC，∵BD⊥AC，∴AD=DC=3.5cm，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值为PE+PQ=PE+EQ′=PQ′，∵AQ=2cm，AD=DC=3.5cm，∴QD=DQ′=1.5（cm），∴CQ′=BP=2（cm），∴AP=AQ′=5（cm），∵∠A=60°，∴△APQ′是等边三角形，∴PQ′=PA=5（cm），∴PE+QE的最小值为5cm．故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．6．如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（）A．4B．245C．5D．6【答案】C【分析】根据AD是∠BAC的平分线，AB=AC可得出确定出点B关于AD的对称点为点C，根据垂线段最短，过点C作CN⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，利用三角形的面积求出CN，从而得解．【解答】解：如图，∵AD是∠BAC的平分线，AB=AC，∴点B关于AD的对称点为点C，过点C作CN⊥AB于N交AD于M，由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM＋MN最小的点，CN＝BM＋MN，∵AB＝10，S△ABC＝25，∴12×10•CN＝25，解得CN＝5，即BM＋MN的最小值是5．故选：C．【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质，等腰三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．二、填空题7．如图所示，Rt△ABC中，AC=BC=4，AD平分∠BAC，点E在边AB上，且AE=1，点P是线段AD上的一个动点，则PE+PB的最小值等于_____．【答案】5【分析】作E关于AD的对称点E′，连接BE′交AD于P，于是得到PE+PB的最小值=BE′，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：作E关于AD的对称点E′，连接BE′交AD于P，则此时PE+PB有最小值，PE+PB的最小值=BE′，∴AE′=AE=1，∵AC=BC=4，∴CE′=3，∴BE′=225CEBC，∴PE+PB的最小值=5，故答案为：5．【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，根据已知得出对应点P位置是解题关键．8．如图，正方形ABCD的面积为16，E为AD的中点，F为对角线BD上的一个动点，连接AF、EF，则线段AFEF的最小值是______．【答案】25【分析】连接CF，当点E，F，C在同一直线上时，AF+FE的最小值为CE长，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴A关于BD的对称点为C，则AF=CF，∴线段AFEF的最小值为线段CFEF的最小值，∴当点E，F，C在同一直线上时，AF+FE的最小值为CE长，∵正方形ABCD的面积为16，∴AD=CD=4，∵E为AD中点，∴DE=2，∴在Rt△CED中，22CE=DE+CD=25，则线段AFEF的最小值是25，故答案为：25.【点评】本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据正方形的性质作得出A关于BD的对称点C是解答此题的关键．9．如图，OMON，已知边长为2的正ABC，两顶点A，B分别在射线OM、ON上滑动，当23OAB时，NBC________，滑动过程中，连结OC，则线段OC长度的取值范围是________．【答案】53°213OC【分析】根据三角形内角和为180°，等边三角形各内角为60°，根据∠OAB=23°，即可求得∠NBC的度数；取AB的中点D，连接OD及DC，根据三角形的边角关系得到OC小于等于OD+DC，只有当O、D及C共线时，OC取得最大值，最大值为OD+CD，由等边三角形的边长为2，根据D为AB中点，得到BD为1，根据三线合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在直角三角形AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD等于AB的一半，由AB的长求出OD的长，进而求出DC+OD，即为OC的最大值，当△ABC的边与OM和ON共线时，OD最小，且为2，即可得出OC的长度范围.【解答】解：等边三角形各内角为60°，∵∠NBC=180°-∠ABC-∠ABO，∠ABO=90°-∠OAB，∠OAB=23°，∴∠NBC=53°；取AB中点D，连OD，DC，有OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD．∵△ABC为等边三角形，D为中点，∴BD=1，BC=2，根据勾股定理得：CD=3，又△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD=12AB=1，∴OD+CD=1+3，即OC的最大值为1+3，当△ABC的边与OM和ON共线时，OD最小，且为2，∴线段OC的取值范围是：213OC，故答案为：53°；213OC.【点评】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理，其中找出OC最大时的长为CD+OD是解本题的关键．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM﹣PO的最大值为_____．【答案】52【分析】连接MO并延长交BC于P，则此时，PM−PO的值最大，且PM−PO的最大值＝OM，根据全等三角形的性质得到AM＝CP＝4，OM＝OP，求得PB＝1，过M作MN⊥BC于N，得到四边形MNCD是矩形，得到MN＝CD，CN＝DM，根据勾股定理即可得到结论．【解答】∵在矩形ABCD中，AD＝5，MD＝1，∴AM＝AD﹣DM＝5﹣1＝4，连接MO并延长交BC于P，则此时，PM﹣PO的值最大，且PM﹣PO的最大值＝OM，∵AM∥CP，∴∠MAO＝∠PCO，∵∠AOM＝∠COP，AO＝CO，∴△AOM≌△COP（ASA），∴AM＝CP＝4，OM＝OP，∴PB＝5﹣4＝1，过M作MN⊥BC于N，∴四边形MNCD是矩形，∴MN＝CD＝AB＝4，CN＝DM＝1，∴PN＝5﹣1﹣1＝3，∴MP＝2222435MNPN+＝+，∴OM＝12MP＝52．故答案为52．【点评】本题考查轴对称−最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．11．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点G为线段EF上一动点，则CDG周长的最小值为______．【答案】11【分析】连接AD，AG，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，GA=GC，推出GC+DG=GA+DG≥AD，故AD的长为BG+GD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，AG．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC•AD=12×4×AD=18，解得AD=9，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，GA=GC，∴GC+DG=GA+DG≥AD，∴AD的长为CG+GD的最小值，∴△CDM的周长最短=（CG+GD）+CD=AD+12BC=9+12×4=9+2=11．故答案为：11．【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．12．