专题43第8章几何中的最值问题之和长度有关的最值之函数法求最值备战2021中考数学解题方法系统训练教

43第8章几何中的最值问题之和长度有关的最值之函数法求最值一、单选题1．如图，将一张面积为20的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的最大面积为（）A．5B．10C．103D．203【答案】B【分析】根据题意可知△AMN∽△ABC，可知相似比为10x，再根据高之比也为相似比，表示出平行四边形的高，再利用面积公式求得即可．【解答】由题意可知：MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，ADMN==AEBC10x，而S△ABC＝1BCAE=102，即：110AE=202，解得：AE＝4，42AD=105xx，S平行四边形＝222MNDE=(4-)=-455xxxx，22-(-5)105x，因此平行四边形纸片的最大面积为10，故选B．【点评】本题考查相似的性质，平行四边形的性质与面积计算，计算量较大．2．已知x=m是一元二次方程x2+2x+n-3=0的一个根，则m+n的最大值等于（）A．134B．4C．154D．134【答案】A【分析】先利用一元二次方程的根的判别式、根的定义求出m的取值范围和223nmm，再利用二次函数的性质求最值即可得．【解答】由题意得：此方程的根的判别式44(3)0n，解得4n，xm是一元二次方程2230xxn的一个根，2230mmn，即2223(1)4nmmm，对于任意实数m，4n均成立，令22(23)3ymnmmmmm，整理得：2113()24ym，由二次函数的性质可知，当12m时，y取得最大值，最大值为134，即mn的最大值等于134，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根的定义、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．3．在平面直角坐标系中，已知A（2，4），P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，M为BC的中点，则PM的最小值为（）A．172B．17C．455D．5【答案】C【分析】作AH⊥y轴，CE⊥AH，证明△AHB∽△CEA，根据相似三角形的性质得到AE＝2BH，求出点M的坐标，根据两点间的距离公式用x表示出PM，根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：如图，过点A作AH⊥y轴于H，过点C作CE⊥AH于E，则四边形CEHO是矩形，∴OH＝CE＝4，∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴AHBHECAE，即24BHAE∴AE＝2BH，设BH＝x，则AE＝2x，∵A（2，4），∴OC＝HE＝2+2x，OB＝4﹣x，∴B（0，4﹣x），C（2+2x，0），∵M为BC的中点，∴BM＝CM，∴M（1+x，42x），∵P（1，0），∴PM＝22245416()()2455xxx，∴当45x时，PM有最小值为165=455，故选：C．【点评】本题考查了坐标与图形性质、矩形的判定与性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、两点间的距离公式、二次函数的性质等知识，认真分析图形，借助作辅助线，利用相似三角形的性质及二次函数的最值求解是解答的关键．4．一块矩形木板ABCD，长AD=3cm，宽AB=2cm，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C上，另一条直角边与AB边交于点E，三角板的直角顶点P在AD边上移动(不含端点A、D)，当线段BE最短时，AP的长为()A．12cmB．1cmC．32cmD．2cm【答案】C【分析】设BEy，APx，由△△AEPDPC得APAECDPD，构建二次函数即可解决问题；【解答】设BE=y，AP=x，∵四边形ABCD是矩形，∵90EPC，∴90APEAEP，90APECPD，∴AEPCPD，∴△△AEPDPC，∴APAECDPD，∴223xyx，∴22373424yxxx，∵10a＞，∴32x时，y有最小值．故答案选C．【点评】本题主要考查了求解二次函数的最值问题，相似三角形的判定与性质是解题的关键．5．如图，线段AB的长为2，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个直角ACD、BCE，其中∠A=30°，∠B=60°，则DE的最小值为（）A．1B．3C．32D．33【答案】C【分析】设2BCx，则22ACx，再根据直角三角形的性质、勾股定理分别求出CD、CE的长，然后根据角的和差可得90DCE，从而利用勾股定理可得2DE，最后利用二次函数的性质求解即可得．【解答】如图，连接DE设2BCx，则22ACABBCx，且022x，即01x在RtACD中，30A，22ACx112CDACx，9060ACDA在RtBCEV中，60B，2BCx9030BCEB，12BEBCx，223CEBCBEx18090ACDBCEDCE在RtDCE中，222222(1)(3)421DECDCExxxx整理得：22134()44DEx由二次函数的性质可知，当104x时，2DE随x的增大而减小；当114x时，2DE随x的增大而增大则当14x时，2DE取得最小值，最小值为34因此，DE的最小值为3342故选：C．【点评】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的性质等知识点，利用勾股定理得出2DE关于x的表达式是解题关键．二、填空题6．已知，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，且AC+BD＝10，当AC＝_______时，四边形ABCD的面积最大，最大值为__________．【答案】512.5【分析】根据已知设四边形ABCD面积为S，AC为x，则10BDx，进而求出2152Sxx，再求出最值即可．【解答】解：设ACx，四边形ABCD面积为S，则10BDx，则：2111=105222SACBDxxxx，∵102，∴S有最大值，当55122x时，四边形ABCD的面积最大，即当5AC时，四边形ABCD面积最大，2155512.52S最大，故答案为：5，12.5．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知正确得出二次函数关系是解题关键．7．小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是_________．【答案】4cm2【分析】设围成的矩形的一边长为xcm，围成的矩形面积为Scm2，根据矩形面积公式可得S与x的关系式，再根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：设围成的矩形的一边长为xcm，围成的矩形面积为Scm2，则另一边长为（4－x）cm，根据题意，得：224424Sxxxxx，∴当x=2时，S最大=4cm2．故答案为：4cm2．【点评】本题考查了二次函数的应用，属于常考题型，正确列出函数关系式、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．8．如图，已知8AB，P为线段AB上一个动点，分别以AP、BP为边在AP同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P、C、E在同一条直线上，60DAP．M、N别是对角线AC、BE的中点，当点P在线段AB上移动时，则点M、N之间的最短距离为______．【答案】23【分析】连接PM、PN．首先证明∠MPN=90°，再根据含30°的直角三角形的特点求出12MPAP，32NPBP，再利用勾股定理求得MN2与AP2的关系，根据二次函数的性质即可解决问题．【解答】如解图，连接MP，NP．∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP=60°，∴∠APC=120°，∠EPB=60°，∵M、N分别是AC，BE的中点，1160,3022CPMAPCEPNBPNEPB,PMAC,PNEN．∴600309MPN，12MPAP，32NPBP．∴222MNMPNP，即2222222131313822444MNAPBPAPBPAPAP221248612APAPAP．∴当6AP时，MN有最小值23，∴点M、N之间的最短距离为23．故答案为：23．【点评】本题考查菱形的性质，含30°的直角三角形，勾股定理，二次函数与几何问题．解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题．9．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为_____．【答案】10【分析】设P（x，x2﹣x﹣4）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣1）2+10．根据二次函数的性质来求最值即可．【解答】解：设P（x，x2﹣x﹣4），四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣x﹣4）+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10．故答案为10．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(m，5﹣m)，当AB的长最小时，m的值为_____【答案】3【分析】先根据两点间的距离公式求出AB2＝2m2﹣12m+26，利用配方法得到AB2＝2（m﹣3）2+8，根据二次函数的性质即可求解．【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（m，5﹣m），∴AB2＝（m﹣1）2+（5﹣m﹣0）2＝m2﹣2m+1+25﹣10m+m2＝2m2﹣12m+26＝2（m﹣3）2+8，∵2＞0，∴当m＝3时，AB2最小，∵当AB2最小时，AB的长最小．故答案为：3．【点评】本题主要考查的是二次函数求最值，利用配方法求最值是解题的关键．三、解答题11．已知抛物线130yaxxa与y轴交于点C，且3OC．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若11,Mxy，25,Ny均在该抛物线上，且12yy，求M点横坐标1x的取值范围；（3）点P为抛物线在直线BC下方图象上的一动点，当PBC面积最大时，求点P的坐标．【答案】（1）243yxx，顶点2,1D；（2）115x；（3）33,24P．【分析】（1）把0,3代入13yaxx即可求出a,化为顶点式即可得到顶点；（2）根据函数图像及对称轴2x即可求解；（3）先求出直线BC的表达式，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点2,43Pxxx，得到点,3Hxx，表示出PH，再根据Δ12PBCSPHOB列出函数，根据二次函数最值即可求出P点坐标．【解答】解：（1）把0,3代入13yaxx，即33a，解得：1a，故抛物线的表达式为：243yxx，243yxx=2(2)1x则顶点2,1D．（2）由（1）知抛物线的对称轴2x，所以点N关于2x对称点21,Qy在抛物线上∵12yy∴1x的取值范围为115x（3）令y=0,即243yxx=0，解得x1=1,x2=3,∴C（3,0）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：ymxn得303mnn解得：13mn∴直线BC的表达式为：3yx，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点2,43Pxxx，则点,3Hxx，∴223433PHxxxxx则2Δ13322PBCSPHOBxx，∵302，故PBCS有最大值，此时32x，故点33,24P．【点评】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次