专题45第8章几何中的最值问题之四边形的面积备战2021中考数学解题方法系统训练教师版

45第8章几何中的最值问题之四边形的面积一、单选题1．如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝12，线段PQ在边BA上运动，PQ＝12，有下列结论：①CP与QD可能相等；②△AQD与△BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为31316；④四边形PCDQ周长的最小值为3732．其中，正确结论的序号（）A．①④B．②④C．①③D．②③【答案】D【分析】根据图象法可判断①；②当∠ADQ=∠CPB时，△AQD与△BCP相似；③设AQ=x，则四边形的面积=S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP，当x取最大值时可得结论；④如图，作点D关于AB的对称点D’，作D’F∥PQ，使得D’F=PQ，连接CF交AB于点P’，此时四边形P’CD’Q’的周长最小，求出CF的长即可判断.【解答】①利用图象法可得PC＞DQ，故①错误；②∵∠A=∠B=60°，∴当∠ADQ=∠CPB时，△AQD与△BCP相似，故②正确；③设AQ=x，则S四边形PCDQ=S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP=13311311333353332222222288xxx，∵x的最大值为15322，∴四边形PCDQ面积的最大值为31316，故③正确；④如图，作点D关于AB的对称点D’，作D’F∥PQ，使得D’F=PQ，连接CF交AB于点P’，此时四边形P’CD’Q’的周长最小，过点C作CH⊥D’F交D’F的延长线于H，交AB于J，由题意可得，DD’=2AD·sin60°=32，332CJ,31132244FH，∴13'24HJDD，∴734CHCJHJ，∴222237339442CEFHCH，∴四边形P’CD’Q’的周长最小最值=3932，故④错误.故选D.【点评】本题主要考查相似三角形的判断与性质，锐角三角函数，轴对称最短路径问题等，综合性较强，属于中考常考题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.二、填空题2．已知，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，且AC+BD＝10，当AC＝_______时，四边形ABCD的面积最大，最大值为__________．【答案】512.5【分析】根据已知设四边形ABCD面积为S，AC为x，则10BDx，进而求出2152Sxx，再求出最值即可．【解答】解：设ACx，四边形ABCD面积为S，则10BDx，则：2111=105222SACBDxxxx，∵102，∴S有最大值，当55122x时，四边形ABCD的面积最大，即当5AC时，四边形ABCD面积最大，2155512.52S最大，故答案为：5，12.5．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知正确得出二次函数关系是解题关键．3．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，已知D是⊙O上一动点，连接AD、CD，若圆的半径r＝2，则以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积为_____．【答案】43．【分析】连接BO并延长交AC于E，交AC于D，根据垂径定理得到点D到AC的距离最大，根据直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】连接BO并延长交AC于E，交AC于D，连接AD、CD，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∴ABBC，∴OE⊥AC，点D为AC的中点，此时点D到AC的距离最大，∴△ADC的面积最大，即以A、B、C、D为顶点的四边形的面积最大，在Rt△BAD中，∠ABD＝30°，∴AD＝12BD＝2，由勾股定理得，AB＝22BDAD＝23，∴以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积＝12×2×23×2＝43，故答案为：43．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质，掌握垂径定理、等边三角形的性质是解题的关键．4．已知AB为半圆的直径，AB＝2，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝1，BC＝3，点P为半圆上的动点，则AD，AB，BC，CP，PD围成的图形的面积的最大值是_____．【答案】2+2【分析】五边形ABCDP的面积＝四边形ABCD的面积﹣△CPD的面积只要求出△CDP面积的最小值，作EF//CD，且与⊙O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，易知此时点P到CD的距离最小，此时△CDP的面积最小．【解答】解：∵五边形ABCDP的面积＝四边形ABCD的面积﹣△CPD的面积，∴只要求出△CDP面积的最小值，作EF//CD，且与⊙O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，易知此时点P到CD的距离最小，此时△CDP的面积最小，易知AD＝22，∵四边形ABCD的面积＝12（1+3）×2＝4＝12×1×1+12•AD•OH+12•1•3，∴OH＝2，∴PH＝2﹣11，∴△CAD的面积最小值为2﹣2，∴五边形ABCDP面积的最大值是4﹣（2﹣2）＝2+2．故答案为2+2．【点评】本题主要考查了求解多边形的面积知识点，结合圆的切线的性质进行求解是解题的重要步骤．5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．抛物线22yxx与x轴正半轴交于点A，点B的坐标为0,3，C是该抛物线第一象限图像上的一点，、、ABC三点均在某一个正方形的边上，且该正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，设点C的横坐标为m．若这个正方形的面积最小，则m的取值范围是__________．【答案】23m【分析】根据抛物线22yxx与x轴正半轴交于点A，得点A坐标为（2，0），点B的坐标为（0，3），可得最小正方形的边长为3，最小正方形的面积为9，根据题意可得A、B、C中任意两个点不能重合，故此可以确定点C的横坐标的取值范围．【解答】解：∵抛物线22yxx与x轴正半轴交于点A，∴点A的坐标为（2，0），如图所示：当A，B，C三点均在某一个正方形的边上，且该正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，∵点B的坐标为（0，3），正方形的面积最小时，此时正方形的边长为3，∴过点A、B、C的正方形的面积最小值为9，∴S≥9．当y=3时，223,xx解得121,3,xx∴当2＜m≤3，时，正方形面积有最小值；当m=-1时，正方形最小边长也为3，正方形面积也有最小值，∵C在第一象限，m＞0，综上所述：点C的横坐标m的取值范围是：2＜m≤3．故答案为：2＜m≤3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、正方形的性质，解决本题的关键是综合利用正方形和二次函数的知识．6．如图，O的半径为1，点,4Paa为O外一点，过点P作O的两条切线，切点分别为点A和点B，则四边形PBOA面积的最小值是___________．【答案】7【分析】由点P的坐标为（a，a-4），得到OP=222a+a4=2a8a+16－－，，由于PA，PB是⊙O的两条切线，得到PA=PB，∠OAP=∠OBP，由于△OPA≌△OBP，在Rt△OAP中，根据勾股定理得到PA的长度，于是得到四边形PBOA面积=2×△OPA的面积=2×12OA•PA=222a8a+15=2a4+7－－，即可得到结果．【解答】解：∵点P的坐标为（a，a-4），OP=222a+a4=2a8a+16－－∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴PA=PB，∠OAP=∠OBP，在△OPA与△OBP中，PAPBOAPOBPOPOP＝＝＝∴△OPA≌△OBP，在Rt△OAP中，PA=22212a8a+161=2a8a+15OP－－－，四边形PBOA面积=2×△OPA的面积=2×12OA•PA=222a8a+15=2a4+7－－∵2＞0∴当a=4时，四边形PBOA面积最小，最小值为7．故答案为：7．【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，最值问题，能求得四边形PBOA面积=22a4+7－是解题的关键．7．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是A边上一点，且AE＝3，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为_____．【答案】9332【分析】根据矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，可得AC＝5，由AE＝3可得点F是边BC上的任意位置时，点C始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h，要使四边形AGCD的面积的最小，即h最小．所以点G在以点E为圆心，BE为半径的圆上，且在矩形ABCD的内部．过点E作EH⊥AC，交圆E于点G，此时h最小．根据锐角三角函数先求得h的值，再分别求得三角形ACD和三角形ACG的面积即可得结论．【解答】解：如图，连接AC，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝∠D＝90°，∴AC＝5，∵AB＝3，AE＝3，∴点F是边BC上的任意位置时，点G始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h，S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝123×4+12×5h，＝6+52h．要使四边形AGCD的面积的最小，即h最小．∵点G在以点E为圆心，BE为半径的圆上，且在矩形ABCD的内部．过点E作EH⊥AC，交圆E于点G，此时h最小．在Rt△ABC中，sin∠BAC＝45BCAC，在Rt△AEH中，AE＝3，sin∠BAC＝45EHAE，解得EH＝45AE＝435，EG＝BE＝AB﹣AE＝3﹣3，∴h＝EH﹣EG＝435﹣（3﹣3）＝935﹣3．∴S四边形AGCD＝6+52×（935﹣3）＝933933222．故答案为：9332．【点评】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是确定满足条件的点G的位置，运用相似、锐角三角函数等知识解决问题．三、解答题8．[问题提出]（1）如图①，在ABC中，6,BCD为BC上一点，4,AD则ABC面积的最大值是（2）如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值[实际应用]（3）如图③，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量60.80,70,ABcmBCcmCDcm且60,BC木匠师傅从这块余料中裁出了顶点,MN在边BC上且面积最大的矩形,PQMN求该矩形的面积【答案】（1）12；（2）9；（3）8003【分析】（1）过点A作AE⊥BC，则有12ABCSBCAEV，要使△ABC的面积最大，则需满足AD=AE即可；（2）设AB=x，则有BC=6-x，然后根据题意可得函数关系式，然后根据二次函数的性质进行求解即可；（3）根据题意作图，则由题意易得△BMQ≌△CNP，则有BM=CN，MN=PQ，设BM=x，则MN=PQ=80-2x，进而可得3QMx，然后根据矩形的面积及二次函数的性质可求解．【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC，如图所示：∴12ABCSBCAEV，∵D为BC上一点，∴ADAE，∴要使△ABC的面积最大，则需满足AD=AE，∵BC=6，AD=4，∴△ABC的面积最大为：164122；故答案为12；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AD=BC，∵矩形ABCD的周长是12，∴设AB=x，则有AD=6-x，矩形ABCD的面积为S，则有：226639Sxxxxx，此函数为二次函数，由10a，二次函数的开口向下，∴当x=3时，矩形ABCD的面积有最大值为：S9；（3）如图所示：∵四边形PQMN是矩形，∴QM=PN，PQ=MN，∠QMN=∠PNM=90°，∵∠B=∠C=60°，∠QMB=∠PNC=90°，∴△BMQ≌△CNP，∴BM=NC，设BM=NC=x，则有MN=PQ=80-2x，∴603QMBMtanx，∴2380223208003PQMNSPQQMxxx矩形，此函数关系为二次函数，由230a可得开口向下，∴当x=20时，矩形PQMN的面积有最大，即8003PQMNS矩形．【点评】本题主要考查二次函数与几何的综合及三角函数，熟练掌握二次函数的性质及三角函数是解题的关键．9．如图三角形ABC，BC＝12，AD是BC边上的高