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46第9章函数的综合问题之二次函数综合题一、单选题1．已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若3t，则m的取值范围是（）A．m≥32B．32≤m≤3C．m≥3D．1≤m≤3【答案】A【分析】当x2时，y值随x值的增大而增大，得2,2bxa由抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，M的纵坐标为t，3t，得2434acba，分三种情况讨论，当对称轴在y轴的右侧时，有262m＞0,即26m＜0,当对称轴是y轴时，有260,m当对称轴在y轴的左侧时，有26m＞0,从而可得结论．【解答】解：当对称轴在y轴的右侧时，222602622432634mmmm①②③，由①得：m＜3,由②得：1,m由③得：3,2m解得：32m＜3，当对称轴是y轴时，260,mm＝3，符合题意，当对称轴在y轴的左侧时，222602622432634mmmm解得m＞3，综上所述，满足条件的m的值为32m．故选：A．【点评】本题考查二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，解不等式组，解题的关键是理解题意，学会利用对称轴的位置进行分类讨论思考问题．2．如图，已知抛物线2yaxbxc的对称轴为直线1x．给出下列结论：①0ac；②240bac；③20ab；④0abc．其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据开口方向及抛物线与ｙ轴交点的位置即可判断①；根据抛物线与ｘ轴交点的个数即可判断②；根据对称轴为直线1x，即可判断③；根据抛物线的对称性，可知抛物线经过点（-1,0），即可判断④．【解答】解：∵抛物线开口向下，则a＜0，∵抛物线交于y轴的正半轴，则c＞0，∴ac＜0，故①正确；∵抛物线与ｘ轴有两个交点，∴240bac，故②正确；∵抛物线的对称轴为直线1x，则12ba，即2a=-b，∴2a+b=0，故③错误；∵抛物线经过点（3,0），且对称轴为直线1x，∴抛物线经过点（-1,0），则0abc，故④正确；∴正确的有①②④，共3个，故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．3．如图是抛物线20yaxbxca，其顶点为1,n，且与x轴的个交点在点3,0和4,0之间，则下列结论正确的个数是（）个①若抛物线与x轴的另一个交点为,0k，则21k；②can；③若xm时，y随x的增大而增大，则1m．A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】①根据抛物线的对称性得：AD=BD，列不等式结论；②将顶点坐标（1，n）代入抛物线的解析式中，列两式可得结论；③根据抛物线的对称轴由此作判断；【解答】解：①如图，设抛物线与x轴的交点为A和B（A在B的右侧），则3-1＜AD＜4-1，2＜AD＜3，由对称性得：AD=BD，∴2＜BD＜3，∵B（k，0），∴BD=1-k，∴2＜1-k＜3，∴-2＜k＜-1，所以选项①正确；②∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴12ba，b=-2a，a+b+c=n，a-2a+c=n，∴-a+c=n，c-a=n，所以选项②正确；③∵抛物线的对称轴是直线x=1，∴若x＜1时，y随x的增大而增大，则m≥-1；所以选项③正确；故选D【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），明确以下几点：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；③常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．4．二次函数2(0)yaxbxca的部分图象如图所示，则下列说法：①abc0；②2a+b=0；③a(x+1)(x-3)=0；④2c-3b=0．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】先根据二次函数的对称性补全函数图像，由函数的开口方向，对称轴以及与y轴的交点确定a，b，c的符号，从而判断①；根据对称轴的位置判断②；根据函数的解析式判断③；根据二次函数图象与x轴的交点判断④．【解答】解：如图，由抛物线过1,0，对称轴为1,x根据对称性得到抛物线的图像经过3,0,①图象开口向下，∴a＜0，与y轴交于正半轴，∴c＞0，对称轴在y轴右侧，∴b＞0，则abc＜0，故①错误；②对称轴1,2bxa解得，2a+b=0，故②正确；③由抛物线与x轴的交点坐标为：1,0,3,0，所以函数解析式为：y=a（x+1）（x-3），所以y的值是不断变化的，故③错误；④∵抛物线与x轴交于（-1，0）和（3，0），∴a-b+c=0，9a+3b+c=0，两式相加得，10a+2b+2c=0，又b=-2a，12ab，∴2c-3b=0，故④正确．故选：B．【点评】本题考查的是图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及掌握二次函数的交点式是解题的关键．5．我们定义一种新函数：形如2yaxbxc＝（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（）①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4，A．4B．3C．2D．1【答案】A【分析】由（-1,0），（3,0）和（0,3）坐标都满足函数223yxx，∴①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线1x，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当11x或3x时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据0y，求出相应的的值为1x或3x，因此④也是正确的；从图象上看，存在函数值大于当1x时的223=4yxx，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．【解答】解：①∵（-1,0），（3,0）和（0,3）坐标都满足函数223yxx，∴①是正确的；②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线1x，因此②也是正确的；③根据函数的图象和性质，发现当11x或3x时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为1x或3x，因此④也是正确的；⑤从图象上看，存在函数值要大于当1x时的223=4yxx，因此⑤是不正确的；故选A【点评】理解“鹊桥”函数2yaxbxc＝的意义，掌握“鹊桥”函数与2yaxbxc＝与二次函数2yaxbxc＝之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数2yaxbxc＝与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．6．如图，抛物线2yaxbxc与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点(4,0)B，则下列结论中：①0abc；②40ab；③11,Mxy与22,Nxy是抛物线上两点，若120xx，则12yy；④若抛物线的对称轴是直线3x，m为任意实数，则(3)(3)(3)ammbm„；⑤若3AB，则430bc，正确的个数是（）A．5B．4C．3D．2【答案】B【分析】根据图像得出a＜0，c＜0，b＞0，可判断①；再由图像可得对称轴在直线x=2右侧，可得22ba，可判断②；再根据二次函数在y轴右侧时的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线x=3，得出6ba，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，得出a+b+c≥0，再由当x=4时，得出16a+4b+c=0，变形为a=416bc，代入，可得4b+5c≥0，结合c的符号可判断⑤.【解答】解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，c＜0，02ba，∴b＞0，∴abc＞0，故①正确；如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，∴对称轴在直线x=2右侧，即22ba，∴42022babaa，又a＜0，∴4a+b＞0，故②正确；∵11,Mxy与22,Nxy是抛物线上两点，120xx，可得：抛物线2yaxbxc在02bxa上，y随x的增大而增大，在2bxa上，y随x的增大而减小，∴12yy不一定成立，故③错误；若抛物线对称轴为直线x=3，则32ba，即6ba，则(3)(3)(3)ammbm=3363ammam=336amm=23am≤0，∴(3)(3)(3)ammbm，故④正确；∵AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，当x=1时，代入，y=a+b+c≥0，当x=4时，16a+4b+c=0，∴a=416bc，则4016bcbc，整理得：4b+5c≥0，则4b+3c≥-2c，又c＜0，-2c＞0，∴4b+3c＞0，故⑤正确，故正确的有4个.故选B.【点评】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是能根据图像得出二次函数表达式各系数的符号.7．已知抛物线()()yxmxn，其中m＜n，若a，b是方程()()0xmxnx的两根，且a＜b，则当()()0ambn时，mn的值（）A．小于零B．等于零C．大于零D．与零的大小关系无法确定【答案】A【分析】由已知可得y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点为（m，0），（n，0），y＝（x﹣m）（x﹣n）与y＝x的两个交点为（a，a），（b，b）；分三种情况分析，当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点在x轴正半轴时；当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点分别在x轴正半轴和负半轴时；当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点在x轴负半轴时．结合图像进行分析可得答案．【解答】解：y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点为（m，0），（n，0），由（x﹣m）（x﹣n）﹣x＝0，,xmxnx方程的两个根为：12,,xaxb则y＝（x﹣m）（x﹣n）与y＝x的两个交点为（a，a），（b，b），如图1：当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点在x轴正半轴时，（m，0），（n，0）在（a，a），（b，b）点的下方，∴a＜m＜n＜b，∴（a﹣m）（b﹣n）＜0，不符合；如图2：当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点分别在x轴正半轴和负半轴时，此时m＜a＜n＜b，∴（a﹣m）（b﹣n）＞0，∴mn＜0；如图3：当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点在x轴负半轴时，此时m＜a＜b＜n，∴（a﹣m）（b﹣n）＜0，不符合题意；综上所述：当（a﹣m）（b﹣n）＞0时，mn＜0，故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的性质，二次函数与x轴的交点坐标，二次函数与一次函数的交点坐标，掌握利用数学结合的方法解题是解题的关