专题50第10章规律问题之坐标变化类备战2021中考数学解题方法系统训练教师版

50第10章规律问题之坐标变化类一、单选题1．如图，在平面直角坐标系内有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），…，第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是（）A．(48，47)B．(49，48)C．(50，49)D．(51，50)【答案】D【分析】通过图象可知，当跳到A2n时，坐标为（n+1，n）可得.【解答】解：由图象可知，点A每跳两次，纵坐标增加1，A2、A4、A6、A8…各点坐标依次为（2，1）、（3，2）、（4，3）、（5，4）则A2n横坐标为：n+1，纵坐标为n，则A100坐标为（51，50）.故选D.【点评】本题为平面直角坐标系中的点坐标规律探究题，解答时注意分别观察横纵坐标的变化规律．2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为2,0,1,2,1,2ABC．已知1,0N，作点N关于点A的对称点N1，点1N关于点B的对称点2N，点2N关于点C的对称点3N点3N关于点A的对称点4N，点4N关于点B的对称点5N，…，依此类推，则点2020N的坐标为（）A．1,8B．3,8C．3,0D．（5，4）【答案】A【分析】先求出N1至N6点的坐标，找出其循环的规律即可求解．【解答】解：由题意作出如下图形：N点坐标为（-1，0），N点关于A点对称的N1点的坐标为（-3，0），N1点关于B点对称的N2点的坐标为（5，4），N2点关于C点对称的N3点的坐标为（-3，-8），N3点关于A点对称的N4点的坐标为（-1，8），N4点关于B点对称的N5点的坐标为（3，-4），N5点关于C点对称的N6点的坐标为（-1，0），此时刚好回到最开始的点N处，∴其每6个点循环一次，∴2020÷6=336……4，即循环了336次后余下4，故N2020的坐标与N4点的坐标相同，其坐标为（-1，8）．故选：A．【点评】本题考查了平面直角坐标系内点的规律问题，找到点循环的规律是解题的关键．3．已知点M(2，2)，规定一次变换是：先作点M关于x轴对称，再将对称点向左平移1个单位长度，则连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（）A．(﹣2018，2)B．(﹣2018，﹣2)C．(﹣2017，2)D．(﹣2017，﹣2)【答案】A【分析】根据轴对称判断出点M变换后在x轴上方，然后求出点M纵坐标，再根据平移的距离求出点M变换后的横坐标，最后写出坐标即可．【解答】解：由题可得，第2020次变换后的点M在x轴上方，∴点M的纵坐标为2，横坐标为2﹣2020×1＝﹣2018，∴点M的坐标变为（﹣2018，2），故选：A．【点评】本题考查了坐标的对称变换和平移，读懂题目信息，确定出连续2020次这样的变换得到点在x轴上方是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形111OABC，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形202020202020OABC，如果点A的坐标为（1，0），那么点2020B的坐标为（）A．(﹣1，1)B．(20)，C．(﹣1，﹣1)D．(02)，【答案】C【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．【解答】解：如图，∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B（1，1），连接OB，由勾股定理得：OB=2，由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=…=2，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°，∴B1（0，2），B2（-1，1），B3（-2，0），B4（-1，-1），…，发现是8次一循环，所以2020÷8=252…4，∴点B2020的坐标为（-1，-1）故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．5．如图，在平面直角坐标系中，已知点1(0,1)A，A2在x轴的正半轴上，且1260OAA＝，过点A2作2312AAAA交y轴于点A3；过点A3作3423AAAA交x轴于点A4；过点A4作4534AAAA交y轴于点A5；过点A5作5645AAAA交x轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2019的坐标是（）A．2018(0,(3))B．2019((3),0)C．2018(0,(3))D．2019((3),0)【答案】A【分析】通过解直角三角形可得出点2A的坐标，同理可得出点3A，4A，5A，6A，7A，的坐标，根据坐标的变化可得出变化规律“点43nA的坐标为(0，213)(nn为正整数）”，再结合201950441即可得出点2019A的坐标，此题得解．【解答】解：1260OAA，11OA，23OA点2A的坐标为(3，0)，同理，3(0A，3，)，4(33A，0)，5(0,9)A，6(93A，0)，7(0,27)A，，点43nA的坐标为(0，213)(nn为正整数）．201950443Q，点2019A的坐标为(0，10093)即(0，2018(3))．故选：A．【点评】本题考查了特殊角的三角形函数值以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“点43nA的坐标为(0，213)(nn为正整数）”是解题的关键．6．在平面直角坐标系中，对于点P(x，y)，我们把点P′(－y＋1，x＋1)叫做点P的幸运点．已知点A1的幸运点为A2，点A2的幸运点为A3，点A3的幸运点为A4，……，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An．若点A1的坐标为(3，1)，则点A2020的坐标为（）A．(-3，1)B．(0，-2)C．(3，1)D．(0，4)【答案】B【分析】根据题目已知条件先表示出6个坐标，观察其中的规律即可得出结果．【解答】解：由题可得：A1(3，1)，A2(0，4)，A3(-3，1)，A4(0，-2)，A5(3，1)，A6(0，4)…，所以是四个坐标一次循环，2020÷4=505，所以是一个循环的最后一个坐标，故A2020(0，-2)，故选：B【点评】本题主要考查的是找规律，根据题目给的已知条件找出规律是解题的关键．7．在平面直角坐标系中，若干个半径为1个单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为1个单位长度/秒，点在弧线上的速度为3个单位长度/秒，则2021秒时，点P的坐标是（）A．（2021，3）B．20213(,)22C．20213(,)22D．（2021，0）【答案】B【分析】设第n秒运动到Pn（n为自然数）点，根据点P的运动规律找出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论．【解答】解：设第n秒运动到Pn（n为自然数）点，观察，发现规律：P1（12，32），P2（1，0），P3（32，﹣32），P4（2，0），P5（52，32），…，∴P4n＋1（n2，32），P4n＋2（n2，0），P4n＋3（n2，﹣32），P4n＋4（n2，0），∵2021＝4×505＋1，∴P2021为（20212，32），故选：B．【点评】本题主要考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律．8．如图，已知点C（0，1），A（0，0），点B在x轴上，∠ABC=30°，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，……，则第10个等边三角形的边长等于（）A．1132B．1032C．1132D．1032【答案】B【分析】根据题目已知条件可推出，AA1=12OB=32，B1A2=12A1B1=232，B2A3=12A2B2=332，依此类推，第n个等边三角形的边长等于32n．【解答】如图，∵点C（0，1），∠ABC=30°，∴OC=1，OB=3．∵∠OBA1=30°，∴AA1=12OB=32，∵△AA1B1、△A2B1B2为等边三角形，∴∠A1AB1=∠AA1B1=∠A2B1B2=60°，∴∠AA1B=∠B1A2B=90°，∠A1B1A2=60°，则∠B1A1A2=30°，在Rt△B1A1A2中，B1A2=12A1B1=232，同理得：B2A3=12A2B2=332，依此类推，第n个等边三角形的边长等于32n，∴第10个等边三角形的边长=1032．故选：B．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质，从而归纳出边长的规律．9．如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点（2017，2）的是（）A．点AB．点CC．点ED．点F【答案】D【分析】根据题意，做出旋转后的图，根据对应点，判断出这个正六边形旋转一周是6个单位长度，求出旋转单位长度，结合旋转周期即可求解．【解答】如下图，当滚动到A’D⊥x轴时，E、F、A的对应点分别是E’、F’、A’，连接A’D，过点F’、E’作F’G⊥A’D，E’H⊥A’D，垂足分别为G、H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠A’FG=30°，∴A’G=12A’F’=12，同理DH=12，∴A’D=2，∵D（2，0），∴A’（2，2），∵正六边形滚动6个单位长度是正好是一周，即6个单位长度一循环，从点（2，2）到点（2017，2）正好是2015个单位长度，2015÷6=335……5，即滚动335周多5个，∴会最先会过点（2017，2）的是点F．故选D．【点评】本题考查了正多边形的旋转问题，找到旋转周期和第一次旋转时对应点的坐标是本题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1＝A1A2＝1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA₂A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2017A2018，则点A2017的坐标为（）A．（0，21008）B．（21008，0）C．（0，21007）D．（21007，0）【答案】A【分析】先根据等腰直角三角形的性质发现11OA，22OA，232OA，…，201620172OA的规律，再根据8个点一循环确定2017A的位置，得到它的点坐标．【解答】解：∵等腰直角三角形12OAA的直角边1OA在y轴的正半轴上，且1121OAAA，以2OA为直角边作第二个等腰直角三角形23OAA，以3OA为直角边作等腰直角三角形34OAA…∴11OA，22OA，232OA，…，201620172OA，∵1A、2A、3A…每8个一循环，再回到y轴的正半轴，201782521，∴点2017A在y轴的正半轴上，∵20161008201722OA，∴100820170,2A．故选：A．【点评】本题考查坐标找规律，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质，平面直角坐标系内点坐标的特点，以及循环问题的求解方法．二、填空题11．如图，将边长为1的正三角形AOP沿x轴正方向作无滑动的连续反转，点P依次落在点1P，2P，32020PP的位置，则点2020P的坐标为______．【答案】(2020,0)【分析】根据图形的翻转，分别得出1P、2P、3P的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标，进一步得出答案即可．【解答】解：由题意可知1P、2P的横坐标是