专题52第11章新定义问题备战2021中考数学解题方法系统训练学生版

52第11章新定义问题之新定义问题一、单选题1．定义新运算：对于任意两个有理数a，b，有*2(1)abab，则*(3)4的值是（）A．9B．27C．27D．92．阅读短文，完成问题：沸羊羊说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算”，然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：(5)(2)7※；(3)(5)8※；(3)(4)7※；(5)(6)11※；0(8)8※；(6)06※．下列是智羊羊看了这些算式后的思考，其中正确的有（）A．两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加B．0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，等于这个数本身C．201213※※※D．加法交换律在有理数的※（加乘）运算中不适用3．己知点A在函数11yx（x0）的图象上，点B在直线234yx上，若A、B两点关于原点对称，则称点A、B为函数1y、2y图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．只有1对B．只有2对C．有1对或2对D．有无数对4．对于两个非零有理数a、b定义运算※如下：a※b=232ababb，则（-3）※（-23）=（）A．-3B．32C．3D．-325．对于有理数a、b，定义一种新运算“※”，规定：a※b＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|，则2※（﹣3）等于（）A．﹣2B．﹣6C．0D．26．对于实数,xy，规定一种运算：xyaxby（,ab是常数），已知2311△，5(3)10△，则,ab的值为（）A．33,5abB．2,3abC．53,3abD．3,2ab7．设[x）表示大于x的最小整数，如[3）＝4，[﹣1.2）＝﹣1，则下列结论中正确的是（填写所有正确结论的序号）①[0）＝0；②[x）﹣x的最小值是0；③[x）﹣x的最大值是1；④存在实数x，使[x）﹣x＝0.6成立．（）A．①②B．②③C．③④D．②③④8．对于有理数x，我们规定x表示不大于x的最大整数，例如1.21,33,2.53,若2106,x则x的取值可以是（）A．52B．62C．56D．689．若定义：f(a,b)＝(-a,b)，g(m,n)＝(m,-n)，例如f(1,2)＝(-1,2)，g(-4,-5)＝(-4,5)，则g(f(3,-4))的值为（）A．(3,-4)B．(-3,4)C．(3,4)D．(-3,-4)10．若点M，N分别是两条线段a和b上任意一点，则线段MN长度的最小值叫做线段a与线段b的“理想距离”．已知(0,0),(1,1),(3,),(3,2)OABkCk，线段BC与线段OA的“理想距离”为2，则k的取值错误的是（）A．1B．0C．1D．211．若定义新运算baba，则223的值为（）A．12B．16C．64D．8112．我们规定这样一种运算：如果abNa0，N0，那么b就叫做以a为底的N的对数，记作：blogaN，例如：因为238，所以log283，那么log381的值为（）A．4B．9C．27D．8113．现规定一种新运算“*”：a*b=ab,如3*2=32=9，则12*3骣琪琪桫=（）A．16B．8C．18D．3214．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点,ab，若规定以下三种变换：①,,fabab.如，1,31,3f；②,,gabba.如，1,33,1g；③,,habab.如，1,31,3h.按照以上变换有：2,33,23,2fgf，那么5,3fh等于（）.A．5,3B．5,3C．5,3D．5,315．对于任何一个数，我们规定符号abcd的意义是abadbccd，按照这个规定计算121xxxx的结果是（）A．21xB．21xC．21xD．21x二、填空题16．等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”﹒若等腰ABC中，70A，则它的特征值k_________________．17．“！”是基斯顿·卡曼于1808年发明的一种数学运算符号，叫做阶乘．自然数n的阶乘写作!n，并且知道：1!1，2!212，3!3216，……那么20!21!等于______．18．规定⊗是一种新运算规则：a⊗b＝a2﹣b2，例如：2⊗3＝22﹣32＝4﹣9＝﹣5，则5⊗[1⊗（﹣2）]＝__________．19．定义一种新运算“*”：*22xyxyx，则-1*2=_______20．对于任意有理数a，b，c，d，规定一种运算：|ac|bd=ad﹣bc，例如52|13|=5×（﹣3）﹣1×2=﹣17．如果3|m24|=2，那么m=_____．21．任何实数a，可用a表示不超过a的最大整数，如[4]4，[3]1，现对72进行如下操作：7272=88=22=1第一次第二次第三次，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次后为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是_____．22．现在定义两种运算“”和“☆”，对于有理数a，b，有21abab，21abab☆，则2332☆☆的值为_______．23．定义新运算：*(2)(5)abab，则5*(7)______．24．用“☆”定义一种新的运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=ab2+2ab+a．如：1☆3=1×32+2×1×3+1=16，则(-2)☆3的值为_______．25．用“※”定义新运算：对于有理数,ab都有：ababab※，那么当m为有理数时，23)m※(※________________(用含m的式子表示)26．“”定义新运算：对于任意的有理数a和b，都有21abb．例如：2955126．当m为有理数时，则(3)mm等于________．27．定义一种新运算“”规则如下：对于两个有理数a，b，ababb，若521x，则x______28．对于两个不相等的实数,ab，我们规定符号max{,}ab表示,ab中的较大值，如：max2,44，故max3,5__________；按照这个规定，方程21max,xxxx的解为__________．29．x、y是一个函数的两个变量，若当a≤x≤b时，有a≤y≤b（ab），则称此函数为a≤x≤b上的闭函数．如函数y=－x+5，当2≤x≤3时，2≤y≤3，所以y=－x+5是2≤x≤3上的闭函数，已知二次函数y=x2+6x+m是t≤x≤-3上的闭函数，则m的值是_________．30．定义一种新的运算：2*ababa，如：42134*142，则2*3*1______.三、解答题31．定义：若2ab，则称a与b是关于1的平衡数．（1）直接填写：①5与_________是关于1的平衡数；②12x与_________是关于1的平衡数（用含的代数式表示）；③y与_________是关于1的平衡数（用含y的代数式表示）；④z与z是关于1的平衡数，则z__________．（2）若22233axxx，22341bxxxx，先化简ab、，再判断a与b是否是关于1的平衡数．32．设用符号＜a，b＞表示a，b两数中较小的数，用[a，b]表示a，b两数中较大的数．试求下列各式的值．（1）＜﹣5，﹣0.5＞+[﹣4，2]；（2）＜1，3＞+[﹣5，＜﹣2，7＞]．33．若a，b是有理数，定义一种运算“”：221ababab，（1）计算32的值；（2）计算423的值；（3）定义的新运算“”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．34．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用()fx来表示．例如：2()35fxxx，当xa时，多项式的值用()fa来表示．例如1x时，多项式235xx的值记为2(1)(1)3(1)57f．（1）已知2()231fxxx，求(2)f的值；（2）已知32()25fxaxxax，当102f．求a的值；（3）已知3()7fxaxbx（其中a，b为常数），若(7)17f，求(7)f的值．35．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝3ac，y＝3bd，那么称点T是点A，B的三分点．例如：A（﹣1，5），B（7，7），当点T（x，y）满足x＝173＝2，y＝573＝4时，则点T（2，4）是点A，B的三分点．（1）已知点C（﹣1，8），D（1，2），E（4，﹣2），请说明其中一个点是另外两个点的三分点．（2）如图，点A为（3，0），点B（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点A，B的三分点．①试确定y与x的关系式．②若①中的函数图象交y轴于点M，直线l交y轴于点N，当以M，N，B，T为顶点的四边形是平行四边形时，求点B的坐标．③若直线AT与线段MN有交点，直接写出t的取值范围．36．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点11,Axy，22,Bxy，若点,Txy满足12xxxk，12yyyk，那么称点T是点A，B的k联点．例如：0,8A，3,1B，当点,Txy满足0313x，8133y时，则1,3T是点A，B的3联点．（1）已知点,Cxy是点1,5A，10,4B的2联点，求点C坐标；（2）已知点45,33P是点1,5M和点3,Nn的k联点，求k和n的值；（3）如图，点3,0D，若点,23Ett是直线l上任意一点，点,Txy是点,DE的3联点，直线ET交x轴于点H．①直接写出点H的坐标_________；②当DTH为直角三角形时，求点E的坐标．37．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩积”，给出如下定义：“横底”a：任意两点横坐标差的最大值；“纵高”h：任意两点纵坐标差的最大值；则“矩积”S＝ah．例如：三点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，2），C（﹣1，﹣3），则“横底”a＝3，“纵高”h＝5，“矩积”S＝ah＝15．已知点D（﹣2，3），E（1，﹣1）．（1）若点F在x轴上．①当D，E，F三点的“矩积”为24，则点F的坐标为；②直接写出D，E，F三点的“矩积”的最小值为；（2）若点F在直线y＝mx+4上，使得D，E，F三点的“矩积”取到最小值，直接写出m的取值范围是．38．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60的凸四边形叫做“准筝形”．（1）如图1，在四边形ABCD中，270AC，30D，ABBC，求证：四边形ABCD是“准筝形”；（2）如图2，在“准筝形”ABCD中，ABAD，60BACBCD，4BC，3CD，求AC的长；（3）如图3，在ABC中，45A，120ABC，33AB，设D是ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD的面积．39．定义一种新运算：观察下列各式：131538☆；3135114☆；5455429☆；(3)451743☆（1）请你算一算：36☆_____；（2）请你想一想：ab☆_____；（3）若5ab☆，请计算53bbaa☆的值．40．定义一种新运算：02abab※．例如：0252253※．（1）求