专题52第11章新定义问题备战2021中考数学解题方法系统训练教师版

52第11章新定义问题之新定义问题一、单选题1．定义新运算：对于任意两个有理数a，b，有*2(1)abab，则*(3)4的值是（）A．9B．27C．27D．9【答案】C【分析】根据定义新运算公式计算即可．【解答】解：由题意可得*(3)4=23(41)=39=27故选C．【点评】此题考查的是定义新运算，掌握有理数乘方的意义和乘法法则是解题关键．2．阅读短文，完成问题：沸羊羊说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算”，然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：(5)(2)7※；(3)(5)8※；(3)(4)7※；(5)(6)11※；0(8)8※；(6)06※．下列是智羊羊看了这些算式后的思考，其中正确的有（）A．两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加B．0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，等于这个数本身C．201213※※※D．加法交换律在有理数的※（加乘）运算中不适用【答案】A【分析】首先根据※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式，归纳出※（加乘）运算的运算法则即可判断A；然后根据：0(8)8※；(6)06※，可得：0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，等于这个数的绝对值可判断B；根据总结出的※（加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出201※※的值是多少即可判断C；加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可判断D．【解答】解：由归纳※（加乘）运算的运算法则：两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加，故A正确；由0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，等于这个数的绝对值，故B错误；由201213※※※，故C错误；加法交换律和加法结合律在有理数的※（加乘）运算中还适用．由※（加乘）运算的运算法则可知：（+5）※（+2）=+7，（+2）※（+5）=+7，所以（+5）※（+2）=（+2）※（+5），即加法交换律在有理数的※（加乘）运算中还适用，故D错误．故选A．【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算律的应用．3．己知点A在函数11yx（x0）的图象上，点B在直线234yx上，若A、B两点关于原点对称，则称点A、B为函数1y、2y图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．只有1对B．只有2对C．有1对或2对D．有无数对【答案】B【分析】根据“友好点”的定义知，点A在函数11yx（x0）的图象上关于原点对称点B一定在直线234yx上，然后进行求解即可．【解答】解：设点1,Aaa，由题意得点B1,aa在直线234yx上，则有：134aa，整理得：23410aa；解得121,13aa，因此“友好点”的个数为2对；故选B．【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数上点的坐标及“友好点”的定义是解题的关键．4．对于两个非零有理数a、b定义运算※如下：a※b=232ababb，则（-3）※（-23）=（）A．-3B．32C．3D．-32【答案】B【分析】根据新定义运算代入计算即可．【解答】a※b=232ababb（-3）※（-23）22323333=223262=433=2故选B．【点评】本题考查了新定义下的实数运算，正确代入新定义运算中是解题的关键．5．对于有理数a、b，定义一种新运算“※”，规定：a※b＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|，则2※（﹣3）等于（）A．﹣2B．﹣6C．0D．2【答案】B【分析】根据a※b=|a|-|b|-|a-b|，可以求得所求式子的值．【解答】解：∵a※b=|a|-|b|-|a-b|，∴2※（-3）=|2|-|-3|-|2-（-3）|=2-3-|2+3|=2-3-5=-6，故选：B．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．6．对于实数,xy，规定一种运算：xyaxby（,ab是常数），已知2311△，5(3)10△，则,ab的值为（）A．33,5abB．2,3abC．53,3abD．3,2ab【答案】C【分析】根据解方程组，可得答案.【解答】解：由题意，得2a+3b=11,5a-3b=10解得53,3ab故选：C【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用“x△y=ax+by（a、b是常数）”得出方程组是解题关键7．设[x）表示大于x的最小整数，如[3）＝4，[﹣1.2）＝﹣1，则下列结论中正确的是（填写所有正确结论的序号）①[0）＝0；②[x）﹣x的最小值是0；③[x）﹣x的最大值是1；④存在实数x，使[x）﹣x＝0.6成立．（）A．①②B．②③C．③④D．②③④【答案】C【分析】利用题中的新定义判断即可．【解答】解：∵[x）表示大于x的最小整数，∴0[x）-x1①[0）=1；②[x）-x无最小值；③[x）-x的最大值是1；④存在实数x，使[x）-x=0.6成立，故选：C．【点评】此题考查了实数的运算，理解新定义实数的运算法则是解本题的关键．8．对于有理数x，我们规定x表示不大于x的最大整数，例如1.21,33,2.53,若2106,x则x的取值可以是（）A．52B．62C．56D．68【答案】B【分析】根据题意可得5868x，再对各项进行判断即可．【解答】∵2106,x∴26710x解得5868x则x的取值可以是62故答案为：B．【点评】本题考查了解不等式的问题，掌握解不等式的方法是解题的关键．9．若定义：f(a,b)＝(-a,b)，g(m,n)＝(m,-n)，例如f(1,2)＝(-1,2)，g(-4,-5)＝(-4,5)，则g(f(3,-4))的值为（）A．(3,-4)B．(-3,4)C．(3,4)D．(-3,-4)【答案】B【分析】直接根据新定义的运算进行求解．【解答】由题意知，f(3,-4)＝(-3,-4)，∴g(f(3,-4))＝g(-3,-4)＝(-3,4)，故选B．【点评】本题是新定义运算，考查点的坐标变化，正确理解新定义运算规则是解题的关键．10．若点M，N分别是两条线段a和b上任意一点，则线段MN长度的最小值叫做线段a与线段b的“理想距离”．已知(0,0),(1,1),(3,),(3,2)OABkCk，线段BC与线段OA的“理想距离”为2，则k的取值错误的是（）A．1B．0C．1D．2【答案】D【分析】根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得k的取值范围．【解答】由题意可得，211kk，解得，−1≤k≤1，故D错误,故选D．【点评】本题考查坐标与图形性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的不等式组．11．若定义新运算baba，则223的值为（）A．12B．16C．64D．81【答案】C【分析】根据新定义列出算式计算即可．【解答】解：∵baba，∴223=223=34=64，故选C．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．12．我们规定这样一种运算：如果abNa0，N0，那么b就叫做以a为底的N的对数，记作：blogaN，例如：因为238，所以log283，那么log381的值为（）A．4B．9C．27D．81【答案】A【分析】先把81转化以3为底的幂，再根据有理数的乘方的定义和题目所提供的信息，log381等于以3为底数81的对数．【解答】解：∵4381，∴log381=4．故选：A．【点评】本题主要考查新定义下的实数运算以及有理数乘方的理解，读懂题目信息并灵活运用是解题的关键．13．现规定一种新运算“*”：a*b=ab,如3*2=32=9，则12*3骣琪琪桫=（）A．16B．8C．18D．32【答案】C【分析】仿照新定义的形式求解即可．【解答】解：由题意可知：∵a*b=ab，∴311*382()21=骣琪琪桫=，故选：C．【点评】本题借助新定义考查有理数的乘方运算，关键是能读懂题意，仿照新定义形式进行运算即可求解．14．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点,ab，若规定以下三种变换：①,,fabab.如，1,31,3f；②,,gabba.如，1,33,1g；③,,habab.如，1,31,3h.按照以上变换有：2,33,23,2fgf，那么5,3fh等于（）.A．5,3B．5,3C．5,3D．5,3【答案】B【解析】【分析】根据题意的描述，可得三种变换的规律，按此规律化简f（h（5，-3））可得答案，注意从题目中所给的变化范例中找到验证规律．【解答】解：根据题意，f（h（5，-3））=f（-5，3）=（5，3）；故选B.【点评】本题考查了点的坐标，几何变换，读懂题目信息，理解f、g、h的变化方法是解题的关键．15．对于任何一个数，我们规定符号abcd的意义是abadbccd，按照这个规定计算121xxxx的结果是（）A．21xB．21xC．21xD．21x【答案】D【分析】根据abadbccd，可以将所求式子化简，本题得以解决．【解答】解：121xxxx=（x+1）（x-1）-x（x-2）=x2-1-x2+2x=2x-1，故选：D．【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答．二、填空题16．等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”﹒若等腰ABC中，70A，则它的特征值k_________________．【答案】47或1411【分析】分∠A为顶角及∠A为底角两种情况考虑，当∠A为顶角时，利用三角形内角和定理可求出底角的度数，结合“特征值”的定义即可求出特征值k的值；当∠A为底角时，利用三角形内角和定理可求出顶角的度数，结合“特征值”的定义即可求出特征值k的值．【解答】当A为顶角时，则底角度数为11807055,2则70145511k；当A为底角时，则顶角度数为18070240，404707k；故答案为：47或1411．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分∠A为顶角及∠A为底角两种情况求出“特征值”k是解题的关键．17．“！”是基斯顿·卡曼于1808年发明的一种数学运算符号，叫做阶乘．自然数n的阶乘写作!n，并且知道：1!1，2!212，3!3216，……那么20!21!等于______．【答案】121【分析】根据题意，可以写出20!21!的式子，然后化简即可解答本题．【解答】解：由题意可得，20!21!＝20191812120191＝121，故答案为：121．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．18．规定⊗是一种新运算规则：a⊗b＝a2﹣b2，例如：2⊗3＝22﹣32＝4﹣9＝﹣5，则5⊗[1⊗（﹣2）]＝__________．【答案】16【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．【解答】解：根据题中的新定义得：原式＝5⊗（1−4）＝5⊗（−3）＝25−9＝16．故答案为：16．【点评】此题考查了