专题57第12章压轴题之开放探究类备战2021中考数学解题方法系统训练学生版

57第12章压轴题之开放探究类一、单选题1．已知关于x、y的二元一次方程组356310xyxky给出下列结论：①当5k时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程61516xy的解，则10k；③无论整数k取何值，此方程组一定无整数解(x、y均为整数)，其中正确的是()A．①②③B．①③C．②③D．①②2．“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在ABC中，90ACB，分别以ABC的三条边为边向外作正方形，连结EB，CM，DG，CM分别与AB，BE相交于点P，Q．若30ABE，则DGQM的值为（）A．32B．53C．45D．313．如图，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n条棱所在的直线必须既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（）A．0B．1C．3D．24．在平面上，边长为2的正方形和短边长为1的矩形几何中心重合，如图①，当正方形和矩形都水平放置时，容易求出重叠面积212S．甲、乙、丙三位同学分别给出了两个图形不同的重叠方式；甲：矩形绕着几何中心旋转，从图②到图③的过程中，重叠面积S大小不变．乙：如图④，矩形绕着几何中心继续旋转，矩形的两条长边与正方形的对角线平行时，此时的重叠面积大于图③的重叠面积．丙：如图⑤，将图④中的矩形向左上方平移，使矩形的一条长边恰好经过正方形的对角线，此时的重叠面积是5个图形中最小的．下列说法正确的是（）A．甲、乙、丙都对B．只有乙对C．只有甲不对D．甲、乙、丙都不对二、填空题5．（1）如图①，五角形的顶点分别为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_________（2）如图②，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=_________（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_________（4）如图④，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝_________6．在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（-2，0），C（a，-a），△ABC的面积小于10，则a的取值范围是__________________．7．如图，点D的坐标为(4,3)，过点D作DEy轴于点E，DFx轴于点F，点M为线段DF上一点，若第一象限内存在点(,23)Nnn，使EMN为等腰直角三角形，请直接写出符合条件的N点坐标________________．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE，使点B落在点F处，连接AF，则当线段AF的长取最小值时，sin∠FBD是_____．三、解答题9．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做三角形的“中垂心”．如图1，在△ABC中，PA=PB，则点P叫做△ABC的“中垂心”．（1）根据定义，中垂心可能在三角形顶点处的三角形有________（举一个例子即可）；（2）应用：如图2；在△ABC中，请画出“中垂心”P，使PA=PB=PC．（保留作图痕迹，不写画法）（3）探究：①如图3，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠ABC=60°，AC=43，“中垂心”P在AC边上，求PA的长．②如图4，若PA=PB且“中垂心”P在△ABC内部，总有AC+BC2AP，请说明理由．10．如图，在ABC中，D为AC的中点，将ABD绕点D顺时针旋转0360得到EFD，连结BE、CF.（1）若ABC为等边三角形，试探究BE与CF有何数量关系？证明你的结论；（2）若ABC为等边三角形，当的值为多少时，EEAB？（3）当ABC不是等边三角形时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请添加一个条件，使得结论成立，并说明理由.11．如图，以点O为旋转中心，将线段AB按顺时针方向旋转得到线段''AB，连结','AABB．（1）比较'OAA与'OBB的大小，并说明理由．（2）当45时，若3,4OAOB，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并解答12．问题呈现：已知等边三角形ABC边BC的中点为点D，120EDF，EDF的两边分别交直线AB，AC于点E，F，现要探究线段BE，CF与等边三角形ABC的边长BC之间的数量关系．（1）特例研究：如图1，当点E，F分别在线段AB，AC上，且DEAB，DFAC时，请直接写出线段BE，CF与BC的数量关系：________；（2）问题解决：如图2，当点E落在射线BM上，点F落在线段AC上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请通过证明探究出线段BE，CF与等边三角形ABC的边长BC之间的数量关系；（3）拓展应用：如图3，当点E落在射线BA上，点F落在射线AC上时，若2CD，45CDF62sin4CFD，请直接写出BE的长和此时DEF的面积．13．综合与实践问题情境从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之，类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现一般图形具有的普遍规律．如图1，在ABC中，90ACB，ACBC，AD为BC边上的中线，E为AD上一点，将AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到BFC△，AD的延长线交线段BF于点P．探究线段EP，FP，BP之间的数量关系．数学思考（1）请你在图1中证明APBF；特例探究（2）如图2，当CE垂直于AD时，求证：2EPFPBP；类比再探（3）请判断（2）的结论在图1中是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．14．在△ABC中，AB=AC，点D与点E分别在AB、AC边上，DE//BC，且DE=DB，点F与点G分别在BC、AC边上，∠FDG12∠BDE．（1）如图1，若∠BDE=120°，DF⊥BC，点G与点C重合，BF=1，直接写出BC=；（2）如图2，当G在线段EC上时，探究线段BF、EG、FG的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当G在线段AE上时，直接写出线段BF、EG、FG的数量关系：_____________．15．如图，点A的坐标为16,0，点B的坐标为0,12，将AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C与AB交于点D．（1）求出AB的长度；（2）求ADC的面积；（3）在平面上是否存在点P，使得PAB△是等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．16．综合与实践将矩形ABCD和RtCEF△按如图1的方式放置，已知点D在CF上（2CFCD），90FCE，连接BF，DE．特例研究（1）如图1，当ADCD，CECF时，线段BF与DE之间的数量关系是_______；直线BF与直线DE之间的位置关系是_______；（2）在（1）条件下中，将矩形ABCD绕点C旋转到如图2的位置，试判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；探究发现（3）如图3，当2CFCE，2CBCD时，试判断线段BF与DE之间的数量关系和直线BF与直线DE之间的位置关系，并说明理由；知识应用（4）如图4，在（3）的条件下，连接BE，FD，若22CECD，请直接写出22BEFD的值．17．解答下列各题：（1）如图1，点P是∠AOB的内部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点．求证：∠MDN＝2∠MON．（2）如图2，若P是∠AOB的外部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点，问∠MDN与∠MON有何数量关系，并说明理由．18．如图1，射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠AOB=150°，∠COD=30°，射线OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC．（1）若∠AOC=60°，试通过计算比较∠NOD和∠MOC的大小；（2）如图2，若将图1中∠COD在∠AOB内部绕点O顺时针旋转．①旋转过程中∠MON的大小始终不变．求∠MON的值；②如图3，若旋转后OC恰好为∠MOA的角平分线，试探究∠NOD与∠MOC的数量关系．19．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点E在BC上，AE的延长线交BD于点F．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）探究CFD的度数；（3）探究EF、DF、CF之间的关系．20．综合与探究问题情境：如图，已知OC平分AOB，CDOA于点D，E为DC延长线上一点，EFOB于点F，EG平分DEF交OB于点G，180DEFAOB．问题发现：（1）如图1，当90AOB时，12____________°；（2）如图2，当AOB为锐角时，1与2有什么数量关系，请说明理由；拓展探究（3）在（2）的条件下，已知直角三角形中两个锐角的和是90°，试探究OC和GE的位置关系，并证明结论；（4）如图3，当AOB为锐角时，若点E为线段DC上一点，EFOB于点F，EH平分DEF交OA于点H，180DEFAOB．请写出一个你发现的正确结论．21．综合实践数学课上，各小组进行了特殊四边形的探究活动，如图所示，在ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形ACE，等边三角形BCF．（1）奋进小组发现：四边形DAEF是平行四边形，请你完成证明；（2）当四边形DAEF是矩形时，求BAC的度数；（3）当四边形DAEF是菱形时，若120DAE，请直接写出BC与DF之间的数量关系．22．如图，PQ⊥MN，垂足为O，点A、B分别在射线OM、OP上，直线BF平分∠PBA，且与∠BAO的平分线交于点C．（1）若∠BAO=45°，求∠ACB的度数；（2）若点A、B分别在射线OM、OP上移动，试探索∠ACB的大小是否会发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，请求出变化的范围．23．已知点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD．CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F．（1）如图1，若60ACD，则AFB．（2）如图2，若ACD，则AFB(用含的代数式表示)；（3）将图2中的ACD点C顺时针旋转(0180)xx，探究AFB与的数量关系，画出图形并证明你的结论．24．某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现：（1）如图1，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作等边△ABD和等边△ACE，连接BE､CD，请你完成作图并证明BE=CD．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）类比探究：（2）如图2，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE､BG，则线段CE､BG有什么关系？说明理由．灵活运用：（3）如图3，在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的长．