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分层练透教材，多重拓展培优第一章特殊平行四边形数学·九年级上册·北师课时学习区过中考3年中考强化闯关过中考·3年中考强化闯关答案1.C【解析】∵点A,B的坐标分别为(2,0)和(0,1),∴OA=2,OB=1.在Rt△AOB中,由勾股定理,得AB=22+12=5,故菱形ABCD的周长为45.1.[2019天津中考]如图,四边形ABCD为菱形,A,B两点的坐标分别是(2,0),(0,1),点C,D在坐标轴上,则菱形ABCD的周长等于()A.5B.43C.45D.20过中考·3年中考强化闯关答案2.C【解析】由菱形的性质可知OB=8,OA=2,AC⊥BD.由平移的性质,得O'B'=OB=8,O'A=3OA=6,∠AO'B'=∠AOB=90°,∴AB'=𝑂′𝐵′2+𝑂′𝐴2=82+62=10.2.[2019江苏苏州中考]如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16,将△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△A'B'O'.当点A'与点C重合时,点A与点B'之间的距离为()A.6B.8C.10D.12过中考·3年中考强化闯关答案3.A【解析】如图,连接AE,设AC,EF交于点O,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB.∵直线EF垂直平分AC,∴OA=OC,AE=EC,又∵∠AOF=∠COE,∴△AOF≌△COE,∴AE=CE=AF=5,∴BC=BE+EC=8.在Rt△ABE中,AB=𝐴𝐸2−𝐵𝐸2=52−32=4.在Rt△ABC中,AC=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=42+82=45.故选A.3.[2019广东广州中考]如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长为()A.45B.43C.10D.8过中考·3年中考强化闯关答案4.A【解析】∵点E,F分别是AD,BC的中点,点M,N分别是AC,BD的中点,∴EN,NF,FM,ME分别是△ABD,△BCD,△ABC,△ACD的中位线,∴EN∥AB∥FM,ME∥CD∥NF,EN=12AB=FM,ME=12CD=NF.当AB=CD时,EN=FM=ME=NF,∴平行四边形EMFN是菱形.当AB⊥CD时,EN⊥ME,则∠MEN=90°,∴菱形EMFN是正方形.故选A.4.[2019辽宁抚顺中考]如图,AC,BD是四边形ABCD的对角线,点E,F分别是AD,BC的中点,点M,N分别是AC,BD的中点,连接EM,MF,FN,NE,要使四边形EMFN为正方形,则需添加的条件是()A.AB=CD,AB⊥CDB.AB=CD,AD=BCC.AB=CD,AC⊥BDD.AB=CD,AD∥BC过中考·3年中考强化闯关答案5.D【解析】连接PC,CE.易知点A,C关于直线BD对称,∴AP=CP,∴AP+EP=CP+EP,∴AP+EP的最小值等于CP+EP的最小值.根据“两点之间,线段最短”可知,当C,P,E三点在同一条直线上时,CP+EP的值最小,最小值为CE的长.易证△ABF≌△CDE,∴AF=CE,即AP+EP的最小值等于AF的长.故选D.5.[2018天津中考]如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是()A.ABB.DEC.BDD.AF解决这类问题是利用轴对称的性质将“同侧折线”转化为“异侧折线”,再根据“两点之间,线段最短”确定出折线长度的最小值.过中考·3年中考强化闯关答案6.85【解析】如图,连接BD,交AC于点O,∵四边形ABCD为正方形,∴BD⊥AC,OA=OB=OC=OD.∵AC=8,AE=CF=2,∴OE=OF=2,∴四边形BEDF为菱形,∴DE=DF=BE=BF.∵BD=AC=8,∴OB=OD=4,在Rt△DOE中,由勾股定理,得DE=𝑂𝐷2+𝑂𝐸2=42+22=25,∴四边形BEDF的周长为4DE=85.6.[2019山东菏泽中考]如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是.过中考·3年中考强化闯关答案7.12【解析】设每个直角三角形中较长的直角边的长为a,较短的直角边的长为b,则𝑎+𝑏=5,𝑎−𝑏=1,解得𝑎=3,𝑏=2,∴菱形的面积为12×ab×4=2ab=2×3×2=12.7.[2019北京中考]如图,把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形,将这四个直角三角形分别拼成如图2、图3所示的正方形,则图1中菱形的面积为.过中考·3年中考强化闯关答案8.15+3【解析】∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3,AB=3,∴阴影部分的面积为23×32=6,∴空白部分的面积为9-6=3.∵四边形ABCD为正方形,∴BC=CD,∠BCE=∠CDF=90°,又∵CE=DF,∴△BCE≌△CDF,∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等,均为12×3=32.∵△BCE≌△CDF,∴∠CBE=∠DCF,又∵∠DCF+∠GCB=90°,∴∠GCB+∠CBE=90°,∴∠BGC=90°.设BG=a,CG=b,则12ab=32,∵a2+b2=32,∴a2+2ab+b2=9+6=15,即(a+b)2=15,∴a+b=15,即BG+CG=15,∴△BCG的周长为15+3.8.[2018浙江台州中考]如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在CD,AD上,CE=DF,BE,CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3,则△BCG的周长为.过中考·3年中考强化闯关答案9.【分析】(1)先根据对边平行且相等的四边形是平行四边形,得到四边形ABCD是平行四边形,再根据邻边相等的平行四边形是菱形,即可证明结论.(2)先根据菱形的性质及勾股定理得到AO的长,再在Rt△AEC中根据斜边上的中线等于斜边的一半计算即可.【解析】(1)∵AB∥DC,∴∠BAC=∠DCA.∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,∴∠DAC=∠DCA,∴AD=DC.9.[2018北京中考]如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.(1)求证:四边形ABCD是菱形.(2)若AB=5,BD=2,求OE的长.过中考·3年中考强化闯关答案∵AB=AD,∴AB=DC,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.(2)∵四边形ABCD是菱形,BD=2,∴AO=12AC,BO=12BD=1,∠AOB=90°,∴AO=𝐴𝐵2−𝐵𝑂2=2.∵CE⊥AB,∴∠AEC=90°,∴OE=12AC=AO=2.过中考·3年中考强化闯关10.[2019云南中考]如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且∠AOB=2∠OAD.(1)求证:四边形ABCD是矩形.(2)若∠AOB∶∠ODC=4∶3,求∠ADO的度数.过中考·3年中考强化闯关答案10.【解析】(1)∵AO=OC,BO=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠AOB=∠OAD+∠ODA=2∠OAD,∴∠OAD=∠ODA,∴AO=DO,∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.(2)由(1)知四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO.∵∠AOB∶∠ODC=4∶3,∴∠AOB∶∠ABO=4∶3,∴∠BAO∶∠AOB∶∠ABO=3∶4∶3.∵∠BAO+∠AOB+∠ABO=180°,∴∠ABO=54°.∵∠BAD=90°,∴∠ADO=90°-54°=36°.过中考·3年中考强化闯关11.[2019浙江宁波中考]如图,矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边AD,BC上,顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD上.(1)求证:BG=DE.(2)若E为AD的中点,FH=2,求菱形ABCD的周长.答案11.【解析】(1)在矩形EFGH中,EH=FG,EH∥FG,∴∠GFH=∠EHF.∵∠BFG=180°-∠GFH,∠DHE=180°-∠EHF,∴∠BFG=∠DHE.在菱形ABCD中,AD∥BC,∴∠GBF=∠EDH,∴△BGF≌△DEH,∴BG=DE.过中考·3年中考强化闯关答案(2)如图,连接EG.在菱形ABCD中,AD∥BC,AD=BC.∵E为AD的中点,∴AE=ED.∵BG=DE,∴AE=BG,∴四边形ABGE为平行四边形,∴AB=EG.在矩形EFGH中,EG=FH=2,∴AB=2,∴菱形ABCD的周长为2×4=8.过中考·3年中考强化闯关12.[2018吉林长春中考]在正方形ABCD中,E是边CD上一点(点E不与点C,D重合),连接BE.【感知】如图1,过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)【探究】如图2,取BE的中点M,过点M作FG⊥BE交BC于点F,交AD于点G.(1)求证:BE=FG.(2)连接CM.若CM=1,则FG的长为.【应用】如图3,取BE的中点M,连接CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G,连接EG,MG.若CM=3,则四边形GMCE的面积为.过中考·3年中考强化闯关答案12.【解析】【探究】(1)如图,将GF平移到AH处,则AH∥GF,AH=GF.∵GF⊥BE,∴AH⊥BE,∴∠ABE+∠BAH=90°.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABH=∠BCE=90°,∴∠ABE+∠CBE=90°,∴∠BAH=∠CBE.在△ABH和△BCE中,∠𝐵𝐴𝐻=∠𝐶𝐵𝐸,𝐴𝐵=𝐵𝐶,∠𝐴𝐵𝐻=∠𝐵𝐶𝐸,∴△ABH≌△BCE,∴BE=AH,∴BE=FG.过中考·3年中考强化闯关答案(2)2【应用】9在Rt△BCE中,∠BCE=90°,CM是BE边上的中线,∴BE=2CM=6.易证△BCE≌△CDG,∴BE=CG=6.又∵ME=12BE=3,且BE⊥CG,∴𝑆四边形𝐺𝑀𝐶𝐸=12×3×6=9.