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分层练透教材，多重拓展培优第二章一元二次方程数学·九年级上册·北师课时学习区1认识一元二次方程课时1一元二次方程课时1过基础教材核心知识精练过基础·教材核心知识精练1.[2019天津二十五中月考]下列方程中,是一元二次方程的有()①8x2+x=20;②2x2-3xy+4=0;③x2-1𝑥=4;④x2=0;⑤x2-3x-4=0.A.2个B.3个C.4个D.5个答案1.B【解析】②2x2-3xy+4=0含有两个未知数,不是一元二次方程;③x2-1𝑥=4不是整式方程,不是一元二次方程.故选B.知识点1一元二次方程的定义要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,其次看未知数的最高次数是否为2.若是,再对它进行整理.如果能整理为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,那么这个方程就是一元二次方程.过基础·教材核心知识精练2.[2019河北唐山路南区期中]若方程(a+1)x2+ax-1=0是关于x的一元二次方程,则a的取值范围是()A.a≥1B.a≠0C.a≠1D.a≠-1答案2.D【解析】依题意得,a+1≠0,解得a≠-1.故选D.知识点1一元二次方程的定义过基础·教材核心知识精练3.易错题[2019广东汕头潮阳区一模]方程(n-3)x|n|-1+3x+3n=0是关于x的一元二次方程,则n=.答案3.-3【解析】因为方程(n-3)x|n|-1+3x+3n=0是关于x的一元二次方程,所以|n|-1=2,且n-3≠0,所以n=-3.知识点1一元二次方程的定义利用一元二次方程的定义求解时,注意二次项系数不为0.过基础·教材核心知识精练4.[2019天津蓟州区期中]一元二次方程4x2-1=5x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为()A.4,-1,5B.4,-5,-1C.4,5,-1D.4,-1,-5答案4.B【解析】一元二次方程4x2-1=5x可化为4x2-5x-1=0,所以二次项系数、一次项系数、常数项分别为4,-5,-1.故选B.知识点2一元二次方程的一般形式过基础·教材核心知识精练5.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+m2-4=0的常数项为0,则m的值是()A.±2B.2C.-2D.无法确定答案5.C【解析】由题意,得𝑚2−4=0,𝑚−2≠0,解得m=-2.故选C.知识点2一元二次方程的一般形式过基础·教材核心知识精练6.一元二次方程(2+x)(3x-4)=5的二次项系数是,一次项系数是,常数项是.7.若关于x的一元二次方程x2-2mx-m+2=0的二次项系数、一次项系数和常数项的和为0,则m的值是.答案6.32-13【解析】一元二次方程(2+x)(3x-4)=5整理为一般形式得3x2+2x-13=0,所以二次项系数是3,一次项系数是2,常数项是-13.7.1【解析】由题意可得1-2m-m+2=0,解得m=1.知识点2一元二次方程的一般形式过基础·教材核心知识精练8.九年级举行篮球赛,初赛采用单循环制(每两个班之间都进行一场比赛).据统计,比赛共进行了28场,求九年级共有多少个班.若设九年级共有x个班,根据题意列出的方程是()A.x(x-1)=28B.12x(x-1)=28C.2x(x-1)=28D.12x(x+1)=28答案8.B【解析】九年级共有x个班,每个班都要比赛(x-1)场,但两班之间只有一场比赛,故12x(x-1)=28.故选B.知识点3建立一元二次方程模型过基础·教材核心知识精练9.[2019广西北部湾经济区中考]扬帆中学有一块长30m,宽20m的矩形空地,计划在这块空地上划出四分之一的区域种花,小禹同学设计方案如图所示,求花带的宽度.设花带的宽度为xm,则可列方程为()A.(30-x)(20-x)=34×20×30B.(30-2x)(20-x)=14×20×30C.30x+2×20x=14×20×30D.(30-2x)(20-x)=34×20×30答案9.D【解析】因为花带的宽度为xm,所以剩余的空地的长为(30-2x)m,宽为(20-x)m,根据题意得,(30-2x)(20-x)=34×20×30.故选D.知识点3建立一元二次方程模型过基础·教材核心知识精练10.根据下列问题,列出关于x的一元二次方程,并将其化成一般形式.(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;(2)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长x;(3)一个直角三角形的斜边长为10,两条直角边长相差2,求较长的直角边长x.答案10.【解析】(1)依题意,得4x2=25,化为一般形式,得4x2-25=0.(2)依题意,得x(x-2)=100,化为一般形式,得x2-2x-100=0.(3)依题意,得x2+(x-2)2=102,化为一般形式,得x2-2x-48=0.知识点3建立一元二次方程模型课时2一元二次方程的解课时2过基础教材核心知识精练过基础·教材核心知识精练1.下列方程中有一个解为-1的是()A.2x2-x=0B.3x2+2x-5=0C.x2-5x+4=0D.2x2-3x-5=0答案1.D【解析】当x=-1时,2x2-x=2+1=3,3x2+2x-5=3-2-5=-4,x2-5x+4=1+5+4=10,2x2-3x-5=2+3-5=0,所以x=-1是方程2x2-3x-5=0的解.故选D.知识点1一元二次方程的解过基础·教材核心知识精练2.已知2是关于x的方程3x2-2a=0的一个解,则a的值是()A.3B.4C.5D.63.[2019天津宝坻区期中]已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b,则a-b的值为()A.1B.-1C.0D.-2答案2.D【解析】把x=2代入方程3x2-2a=0,得3×4-2a=0,解得a=6.故选D.3.A【解析】将x=-b代入方程,得b2-ab+b=0,所以-b(a-b-1)=0,因为-b≠0,所以a-b-1=0,即a-b=1.故选A.知识点1一元二次方程的解过基础·教材核心知识精练4.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1,则a+b+c=;若有一个根为-1,则b与a,c之间的关系为;若有一个根为0,则c=.5.[2019四川资阳中考]a是方程2x2=x+4的一个根,则代数式4a2-2a的值是.答案4.0b=a+c0【解析】将x=1代入ax2+bx+c=0,得a+b+c=0;将x=-1代入ax2+bx+c=0,得a-b+c=0,所以b=a+c;将x=0代入ax2+bx+c=0,得c=0.5.8【解析】∵a是方程2x2=x+4的一个根,∴2a2-a=4,∴4a2-2a=2(2a2-a)=2×4=8.知识点1一元二次方程的解整体代入思想的巧运用遇到系数特别大或者特别小的一元二次方程求解相关代数式的值时,最常用的就是整体代入,这里要注意两点:(1)运用方程解的意义,适当进行变形;(2)观察所求代数式的特征,选取合适的部分当作“整体”,然后进行代入计算.过基础·教材核心知识精练6.已知m是方程x2-x-2=0的一个实数解,求代数式(m2-m)(m-2𝑚+1)的值.答案6.【解析】∵m是方程x2-x-2=0的一个实数解,∴m2-m-2=0,∴m2-m=2,m-2𝑚=1,∴(m2-m)(m-2𝑚+1)=2×(1+1)=2×2=4.知识点1一元二次方程的解过基础·教材核心知识精练7.[2019四川达州一中月考]观察下列表格,一元二次方程x2-x=1.1的一个近似解是()A.0.11B.1.19C.1.73D.1.67答案7.D【解析】因为x=1.6时,x2-x=0.96,x=1.7时,x2-x=1.19,所以方程解的范围为1.6x1.7.故选D.知识点2一元二次方程的近似解x1.11.21.31.41.51.61.71.81.9x2-x0.110.240.390.560.750.961.191.441.71过基础·教材核心知识精练8.输入一组数据,按下列程序进行计算,输出结果如下表:分析表格中的数据,估计方程(x+8)2-826=0的一个正数解x的大致范围为()A.20.5x20.6B.20.6x20.7C.20.7x20.8D.20.8x20.9答案8.C知识点2一元二次方程的近似解x20.520.620.720.820.9输出-13.75-8.04-2.313.449.21过基础·教材核心知识精练9.要剪一块面积为150cm2的长方形铁片,使它的长比宽多5cm,这块铁片应该怎样剪?设长为xcm,则宽为(x-5)cm,列方程为x(x-5)=150,即x2-5x-150=0.请根据所列方程回答以下问题:(1)x可能小于5吗?可能等于10吗?说说你的理由.(2)完成下表:(3)你知道铁片的长是多少吗?知识点2一元二次方程的近似解x1011121314151617⋯x2-5x-150过基础·教材核心知识精练答案9.【解析】(1)x不可能小于5.理由:若x5,则x-50,不合题意.x不可能等于10.理由:若x=10,则x2-5x-150=-100,不合题意.(2)填表如下:(3)铁片的长是15cm.知识点2一元二次方程的近似解x1011121314151617⋯x2-5x-150-100-84-66-46-2402654⋯求一元二次方程近似解的“三步法”(1)定范围:根据实际问题确定解的大致范围;(2)细计算:在确定取值范围内均匀地取一些x的值,计算出对应的代数式ax2+bx+c的值,进一步缩小解的范围;(3)比较:比较计算的结果,确定方程的近似解.2用配方法求解一元二次方程课时1直接开平方法和配方法课时1过基础教材核心知识精练过基础·教材核心知识精练1.易错题方程5x2-20=0的根是()A.x=2B.x=-2C.x1=2,x2=-2D.x=4答案1.C【解析】原方程可化为x2=4,直接开平方得x=±2,所以x1=2,x2=-2.故选C.知识点1用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程用直接开平方法解一元二次方程,一定要注意方程一般有两个解,不要遗漏.过基础·教材核心知识精练2.方程13(x2+2)=2的解是()A.2B.-2C.2或-2D.4或-43.[2019内蒙古包头东河区二模]若关于x的一元二次方程ax2=b(ab0)的两个根分别是m-1和2m+4,则𝑏𝑎的值为()A.4B.3C.2D.1答案2.C【解析】方程两边同乘以3,得x2+2=6,移项,得x2=4,解得x1=2,x2=-2.故选C.3.A【解析】由直接开方法可知m-1与2m+4互为相反数,∴m-1+2m+4=0,∴m=-1,∴m-1=-2,2m+4=2,∴x2=𝑏𝑎=4.故选A.知识点1用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程过基础·教材核心知识精练4.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程,若其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是()A.x-6=-4B.x-6=4C.x+6=4D.x+6=-4答案4.D【解析】两边开平方,得x+6=±4,所以另一个一元一次方程是x+6=-4.故选D.知识点2用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程过基础·教材核心知识精练5.[2019吉林中考]若关于x的一元二次方程(x+3)2=c有实数根,则c的值可以为(写出一个即可).6.一元二次方程(2x+1)2-81=0的解是.答案5.5(答案不唯一,只要c≥0即可).6.x1=4,x2=-5【解析】(2x+1)2-81=0,2x+1=±9,所以x1=4,x2=-5.知识点2用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程直接开平方法解一元二次方程的步骤(1)将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式;(2)直接开平方化为两个一元一次方程;(3)解两个一元一次方程得到原方程的解.过基础·教材核心知识精练7.如果(2a+1+2b)(2a-1+2b)=63,那么a+b的值为.8.[2019山东青岛模拟]在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为a*b=a2-