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分层练透教材，多重拓展培优第二章一元二次方程数学·九年级上册·北师课时学习区专题1利用一元二次方程的根求代数式的值专项素养拓训1.若x=-1是关于x的一元二次方程ax2+bx-2=0(a≠0)的一个根,则代数式2020+b-a的值为()A.2017B.2018C.2019D.2020答案1.B【解析】把x=-1代入一元二次方程ax2+bx-2=0,得a-b-2=0,所以b-a=-2,所以2020+b-a=2020-2=2018.故选B.2.若α是方程x2-5x+1=0的一个根,求α2+1𝛼2的值.答案2.【解析】由题意得,α2-5α+1=0,则α≠0.α2-5α+1=0两边同除以α,得α-5+1𝛼=0,所以α+1𝛼=5,两边同时平方,得(α+1𝛼)2=25,所以α2+1𝛼2+2=25,所以α2+1𝛼2=23.3.已知m是方程x2+x-1=0的一个根,求代数式(m+1)2+(m+1)(m-1)的值.答案3.【解析】把x=m代入方程,得m2+m-1=0,∴m2+m=1,∴(m+1)2+(m+1)(m-1)=m2+2m+1+m2-1=2(m2+m)=2,即代数式(m+1)2+(m+1)(m-1)的值为2.专题2根的判别式的应用专项素养拓训4.关于x的一元二次方程x2=(a+1)x的根的情况是()A.一定有两个实数根B.一定有两个不相等的实数根C.一定没有实数根D.不能确定答案4.A【解析】∵方程可变形为x2-(a+1)x=0,∴Δ=(a+1)2≥0,∴方程一定有两个实数根.故选A.类型1利用根的判别式判断一元二次方程根的情况5.[2019江苏镇江市江南学校段测]已知:关于x的方程x2+2mx+m2-1=0.(1)不解方程,判断方程根的情况;(2)若方程有一个根为3,求m的值.答案5.【解析】(1)∵Δ=(2m)2-4(m2-1)=40,∴无论m为何值,方程总有两个不相等的实数根.(2)将x=3代入原方程,得9+6m+m2-1=0,整理,得(m+2)(m+4)=0,解得m1=-2,m2=-4,∴m的值为-2或-4.类型1利用根的判别式判断一元二次方程根的情况6.[2019湖北黄冈黄州区模拟]某超市销售一种饮料,平均每天可售出100箱,每箱利润为120元.为了扩大销量,尽快减少库存,超市准备适当降价.据测算,若每箱降价2元,则每天可多售出4箱.(1)如果要使每天销售该饮料获利14000元,那么每箱应降价多少元.(2)每天销售该饮料的获利能达到14500元吗?若能,则每箱应降价多少,若不能,请说明理由.类型2根的判别式的实际应用答案6.【解析】(1)设每箱应降价x元,依据题意列方程,得(120-x)(100+2x)=14000,解得x1=20,x2=50.∵为了扩大销量,尽快减少库存,∴x=50.答:每箱应降价50元,可使每天销售该饮料获利14000元.(2)每天销售该饮料的获利不能达到14500元.理由如下:由题意得(120-x)(100+2x)=14500,整理得x2-70x+1250=0,∵Δ=702-4×12500,∴此方程无实数根,故该超市每天销售这种饮料的获利不能达到14500元.类型2根的判别式的实际应用专题3一元二次方程与其他知识的综合专项素养拓训7.已知a,b,c是△ABC的三边长,且关于x的方程x2+2(a-b)x-(a2+b2-c2)2=0有两个相等的实数根,则△ABC是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.锐角三角形答案7.C【解析】根据题意,得Δ=4(a-b)2+4(a2+b2-c2)2=0,∴(a-b)2+(a2+b2-c2)2=0,∴a-b=0且a2+b2-c2=0,即a=b且a2+b2=c2,∴△ABC为等腰直角三角形.故选C.类型1一元二次方程与三角形的综合8.已知a,b,c分别是三角形的三边长,则关于x的一元二次方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.可能有且只有一个实数根D.没有实数根答案8.D【解析】方程的根的判别式Δ=(2c)2-4(a+b)(a+b)=4c2-4(a+b)2=4(c+a+b)(c-a-b).∵a,b,c分别是三角形的三边长,∴a+bc,c+a+b0,∴c-a-b0,∴Δ0,∴方程没有实数根.故选D.类型1一元二次方程与三角形的综合9.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两实数根.等腰三角形ABC的一边长为7,若x1,x2恰好是△ABC另外两边的长,求△ABC的周长.答案9.【解析】①当7为底边长时,方程x2-2(m+1)x+m2+5=0有两个相等的实数根,∴Δ=4(m+1)2-4(m2+5)=0,解得m=2,∴方程为x2-6x+9=0,解得x1=x2=3.∵3+37,∴不能构成三角形.②当7为腰长时,设x1=7,代入方程得49-14(m+1)+m2+5=0,解得m1=10,m2=4,当m=10时,方程为x2-22x+105=0,解得x1=7,x2=15,∵7+715,∴不能构成三角形;当m=4时,方程为x2-10x+21=0,解得x1=3,x2=7,此时能构成三角形,△ABC的周长为7+7+3=17.综上,△ABC的周长为17.类型1一元二次方程与三角形的综合10.若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx+b的大致图象可能是()答案10.B【解析】由x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,可得Δ=4-4(kb+1)0,解得kb0,则k,b异号,结合选项可知符合条件的图象只有B项.故选B.类型2一元二次方程与一次函数的综合11.[2019贵州安顺中考]安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果,计划以每千克60元的价格销售.为了让顾客得到更大的实惠,现决定降价销售,已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0x20)之间满足一次函数关系,其图象如图所示:(1)求y与x之间的函数关系式;(2)商贸公司要想获利2090元,则这种干果每千克应降价多少元?类型2一元二次方程与一次函数的综合答案11.【解析】(1)设一次函数关系式为y=kx+b,当x=2时,y=120;当x=4时,y=140,∴2𝑘+𝑏=120,4𝑘+𝑏=140,解得𝑘=10,𝑏=100,∴y与x之间的函数关系式为y=10x+100.(2)由题意得,(60-40-x)(10x+100)=2090,整理得x2-10x+9=0,解得x1=1,x2=9.为让顾客得到更大的实惠,∴x=9.答:商贸公司要想获利2090元,这种干果每千克应降价9元.类型2一元二次方程与一次函数的综合12.如图1,为美化校园环境,某校计划在一块长为60m、宽为40m的长方形空地上修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道的宽为am.(1)花圃的面积为m2;(用含a的式子表示)(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的38,求此时通道的宽;(3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1(元)、y2(元)与修建面积x(m2)之间的函数关系如图2所示,如果学校决定由该公司承建此项目,并要求修建的通道的宽度不少于2m且不超过10m,那么通道的宽为多少时,修建通道和花圃的总造价为105920元?类型2一元二次方程与一次函数的综合答案12.【解析】(1)(4a2-200a+2400)由题意,得花圃的面积为(60-2a)(40-2a)=(2400-200a+4a2)(m2).(2)根据题意,得4a2-200a+2400=60×40×58,解得a1=5,a2=45(不符合题意,舍去).答:此时通道的宽为5m.(3)当a=10时,花圃的面积为(60-2×10)×(40-2×10)=800(m2),∴花圃的面积最少为800m2.根据题中图象可设y1=mx,y2=kx+b(x≥800),将(1200,48000)代入y1=mx,得1200m=48000,解得m=40,∴y1=40x.将(800,48000),(1200,62000)代入y2=kx+b,类型2一元二次方程与一次函数的综合答案得800𝑘+𝑏=48000,1200𝑘+𝑏=62000,解得𝑘=35,𝑏=20000,∴y2=35x+20000(x≥800).∵花圃的面积为(4a2-200a+2400)m2,∴通道的面积为2400-(4a2-200a+2400)=(-4a2+200a)(m2),∴35(4a2-200a+2400)+20000+40(200a-4a2)=105920,解得a1=2,a2=48(不符合题意,舍去).答:通道的宽为2m时,修建通道和花圃的总造价为105920元.类型2一元二次方程与一次函数的综合综合素养拓训方程的学习就是一个建模的过程,从一元一次方程到二元一次方程,再到本章学习的一元二次方程,都是先从实际问题引入,从中抽象出数学问题,经过逻辑推理,转化为方程问题,进而形成方程知识体系,完成建模.例如第2题,利用方程建立模型,再通过解方程找出符合条件的方案,强化逻辑推理、数学抽象等核心素养.1.[整体法求代数式的值]已知实数x满足x2+1𝑥2+x+1𝑥=0,则x+1𝑥的值是.答案1.-2【解析】因为x2+1𝑥2+x+1𝑥=0,所以(x+1𝑥)2+(x+1𝑥)-2=0,解得x+1𝑥=1或-2.当x+1𝑥=1时,x2-x+1=0,Δ=1-40,方程无解,所以x+1𝑥=-2.2.[一元二次方程与方案设计]要在一块长16m、宽12m的矩形荒地上建造一个花园,要求花园面积是荒地面积的一半,下面分别是小华与小芳的设计方案.(1)同学们都认为小华的方案是正确的,但对小芳的方案是否符合条件有不同意见,你认为小芳的方案符合条件吗?若不符合,请用方程的方法说明理由.(2)你还有其他的设计方案吗?请在图3中画出你所设计的草图,并将花园部分涂上阴影.答案2.【解析】(1)不符合.理由如下:设小路的宽度均为xm,根据题意,得(16-2x)(12-2x)=12×16×12,解得x1=2,x2=12(不符合题意,舍去).∴小路的宽度均为2m,∴小芳的方案不符合条件.(2)答案不唯一.例如:3.[读诗解题]根据下面文字,你能猜出周瑜去世时的年龄吗?大江东去浪淘尽,千古风流人物.而立之年督东吴,英年早逝两位数.十位恰小个位三,个位平方与寿符.哪位学子算得快,多少年华属周瑜?(“而立之年”为30岁)答案3.【解析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x-3.根据题意,得x2=10(x-3)+x,即x2-11x+30=0,解得x1=5,x2=6.当x=5时,年龄为25岁,不符合题意,舍去;当x=6时,年龄为36岁,符合题意.答:周瑜去世时的年龄为36岁.4.[一元二次方程中的新定义问题]若x1,x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根,且|x1|+|x2|=2|k|(k是整数),则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”.如:方程x2-6x-27=0,x2-2x-8=0,x2+3x-274=0,x2+6x-27=0,x2+4x+4=0都是“偶系二次方程”.(1)判断方程x2+x-12=0是否是“偶系二次方程”,并说明理由;(2)对于任意整数b,是否存在实数c,使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”?请说明理由.答案4.【解析】(1)不是.理由如下:解方程x2+x-12=0,得x1=3,x2=-4,∴|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5,∵3.5不是整数,∴x2+x-12=0不是“偶系二次方程”.(2)存在.理由如下:∵x2-6x-27=0和x2+6x-27=0都是“偶系二次方程”,∴假设c=mb2+n,当b=-6,c=-27时,-27=36m+n.答案∵x2=0是“偶系二次方程”,∴当n=0时,m=-34,∴c=-34b2.∵x2+3x-274=0是“偶系二次方程”,当b=3时,c=-3