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分层练透教材，多重拓展培优第六章反比例函数数学·九年级上册·北师课时学习区专题反比例函数的图象与性质专项素养拓训1.[2020安徽二十校联考]如图,点A是反比例函数y=𝑘𝑥(x0)的图象上一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,点C为y轴上一点,连接AC,BC.若△ABC的面积为4,则k的值是()A.4B.-4C.8D.-8答案1.D【解析】如图,连接OA,∵AB⊥x轴,∴OC∥AB,∴S△ABC=S△OAB=12|k|=4,∴|k|=8.∵当x0时,反比例函数的图象位于第二象限,∴k0,∴k=-8.故选D.类型1反比例函数与图形面积2.如图,双曲线y=-32𝑥(x0)经过▱OABC的对角线的交点D,已知边OC在y轴上,且AC⊥OC于点C,则▱OABC的面积是()A.32B.94C.3D.6答案2.C【解析】∵AC⊥OC,∴S△CDO=12|k|=12×32=34,∴▱OABC的面积为4S△CDO=4×34=3.故选C.类型1反比例函数与图形面积3.如图,点C,D在双曲线y=3𝑥(x0)上,点A,B在x轴上,且OA=AB,CO=CA,DA=DB,则S△OCA+S△ADB=.答案3.4【解析】如图,过点C作CM⊥x轴于点M,过点D作DN⊥x轴于点N,连接OD,∵CO=CA,DA=DB,∴OM=AM,AN=BN,∵S△OCM=S△ODN=12|k|=32,∴S△OCA=2S△OCM=3,∵OA=AB,AN=BN,∴S△AND=12S△OAD=13S△OND=12,∴S△ABD=2S△AND=1,∴S△OCA+S△ADB=3+1=4.类型1反比例函数与图形面积4.[2018广东广州中考]一次函数y=ax+b和反比例函数y=𝑎−𝑏𝑥在同一直角坐标系中的大致图象是()答案4.A【解析】易得一次函数y=ax+b与x轴、y轴的交点分别为(-𝑏𝑎,0),(0,b).当a0时,若ba0,则一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、三象限,且-𝑏𝑎-1,反比例函数y=𝑎−𝑏𝑥的图象分布在第二、四象限,故选项B中的图象不符合题意;若ab0,则一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、三象限,且-𝑏𝑎-1,反比例函数y=𝑎−𝑏𝑥的图象分布在第一、三象限,故选项A中的图象符合题意;当a0时,若a0b1,则一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,反比例函数y=𝑎−𝑏𝑥的图象经过第二、四象限,故选项C,D中的图象均不符合题意.故选A.类型2反比例函数与一次函数5.如图,已知一次函数y=kx-3(k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,与反比例函数y=12𝑥(x0)交于C点,且AB=AC,则k的值为.答案5.32【解析】如图,过点C作CD⊥x轴于点D,则OB∥CD,∴∠ACD=∠ABO.∵AB=AC,∠CAD=∠BAO,∴△ACD≌△ABO,∴CD=OB.由直线y=kx-3可知,点B的坐标为(0,-3),∴CD=OB=3.将y=3代入y=12𝑥中,得x=4,∴C(4,3),再将点C(4,3)代入直线y=kx-3中,得k=32.类型2反比例函数与一次函数6.[2018甘肃兰州中考]如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=𝑘𝑥的图象交于点A(1,2)和B(-2,m).(1)求一次函数和反比例函数的表达式;(2)过点B作BE∥x轴,AD⊥BE于点D,点C是直线BE上一点,若AC=2CD,求点C的坐标.类型2反比例函数与一次函数答案6.【解析】(1)∵点A在反比例函数y2=𝑘𝑥的图象上,∴k=1×2=2,故反比例函数的表达式为y2=2𝑥.∵点B在反比例函数y2=2𝑥的图象上,∴m=2−2=-1,故点B的坐标为(-2,-1).将点A,B的坐标分别代入一次函数的表达式,得𝑎+𝑏=2,−2𝑎+𝑏=−1,解得𝑎=1,𝑏=1,故一次函数的表达式为y1=x+1.类型2反比例函数与一次函数答案(2)易得点D的坐标为(1,-1).设点C的坐标为(n,-1),则AC=(𝑛−1)2+32,CD=|n-1|.由AC=2CD,可得AC2=4CD2,即(n-1)2+32=4(n-1)2,解得n1=1+3,n2=1-3,故点C的坐标为(1+3,-1)或(1-3,-1).类型2反比例函数与一次函数类型3反比例函数与不等式7.已知A(-1,y1),B(2,y2)两点在双曲线y=3+2𝑚𝑥上,且y1y2,则m的取值范围是()A.m0B.m0C.m-32D.m-32答案7.D【解析】解法一由题可知,点A,B位于第二、四象限或第一、三象限,∵-12,y1y2,∴双曲线y=3+2𝑚𝑥位于第二、四象限,∴3+2m0,即m-32.故选D.解法二将点A(-1,y1),B(2,y2)代入y=3+2𝑚𝑥,得𝑦1=−(3+2𝑚),𝑦2=3+2𝑚2,由y1y2可得-(3+2m)3+2𝑚2,解得m-32.故选D.类型3反比例函数与不等式8.[2019湖南湘西州中考]如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=𝑚𝑥的图象在第一象限交于点A(3,2),与y轴的负半轴交于点B,且OB=4.(1)求函数y=𝑚𝑥和y=kx+b的表达式;(2)结合图象直接写出不等式组0𝑚𝑥kx+b的解集.答案8.【解析】(1)把点A(3,2)代入反比例函数y=𝑚𝑥,可得m=3×2=6,∴反比例函数的表达式为y=6𝑥.∵OB=4,∴B(0,-4),把点A(3,2),B(0,-4)代入一次函数y=kx+b,可得3𝑘+𝑏=2,𝑏=−4,解得𝑘=2,𝑏=−4,∴一次函数的表达式为y=2x-4.(2)不等式组0𝑚𝑥kx+b的解集为x3.类型2反比例函数与一次函数9.如图,直线y1=-x+4,y2=34x+b都与双曲线y=𝑘𝑥交于点A(1,m),这两条直线分别与x轴交于B,C两点,直线y1=-x+4与双曲线y=𝑘𝑥交另一点D(n,1).(1)求y与x之间的函数关系式;(2)写出当x0时,不等式-x+4𝑘𝑥的解集;(3)若点P在x轴上,连接AP把△ABC的面积分成1∶3两部分,求此时点P的坐标.答案9.【解析】(1)把A(1,m)代入y1=-x+4,得m=-1+4=3,∴点A的坐标为(1,3).把A(1,3)代入y=𝑘𝑥,得k=1×3=3,∴y与x之间的函数关系式为y=3𝑥.类型3反比例函数与不等式答案(2)把D(n,1)代入y=3𝑥,得n=3.当x0时,不等式-x+4𝑘𝑥的解集为0x1或x3.(3)在y1=-x+4中,令y1=0,得x=4,∴点B的坐标为(4,0).把A(1,3)代入y2=34x+b,得3=34+b,∴b=94,∴y2=34x+94,令y2=0,得x=-3,∴点C的坐标为(-3,0),∴BC=7.∵AP把△ABC的面积分成1∶3两部分,∴CP=14BC=74或BP=14BC=74,∴OP=3-74=54或OP=4-74=94,∴此时点P的坐标为(-54,0)或(94,0).类型3反比例函数与不等式10.工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序,即需要将材料煅烧到800℃,然后停止煅烧进行锻造操作.停止煅烧后第8min时,材料温度降为600℃,煅烧时,温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系;锻造时,温度y(℃)与时间x(min)成反比例关系(如图),已知该材料初始温度是32℃.(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式,并且写出自变量x的取值范围;(2)根据工艺要求,当材料温度低于480℃时,需停止操作,那么锻造的操作时间有多长?答案10.【分析】根据点A,B的坐标可求得线段AB所在直线的函数关系式,根据点C的坐标可求得锻造阶段的反比例函数关系式,需先求得锻造阶段的关系式才能确定点B的坐标,进而根据函数关系式分析、求解相关实际问题.【解析】(1)设锻造时的函数关系式为y=𝑘𝑥(k≠0),则600=𝑘8,∴k=4800,类型4反比例函数在实际问题中的应用答案∴y=4800𝑥.当y=800时,800=4800𝑥,解得x=6,当y=32时,32=480𝑥,解得x=150,∴点B的坐标为(6,800),锻造时的函数关系式为y=4800𝑥(6x≤150).设煅烧时的函数关系式为y=ax+b(a≠0),则𝑏=32,6𝑎+𝑏=800,解得𝑎=128,𝑏=32,∴煅烧时的函数关系式为y=128x+32(0≤x≤6).(2)当x=480时,y=4800480=10,10-6=4(min),∴锻造的操作时间有4min.类型4反比例函数在实际问题中的应用11.某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种.如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚内温度y(℃)随时间x(h)变化的图象,其中BC段是双曲线y=𝑘𝑥的一部分.请根据图中信息解答下列问题.(1)恒温系统在这天保持大棚内温度为18℃的时间有多少小时?(2)求k的值.(3)当x=16时,大棚内的温度为多少度?类型4反比例函数在实际问题中的应用答案11.【解析】(1)观察题中图象可知,恒温系统在这天保持大棚内温度为18℃的时间为12-2=10(h).(2)∵点B(12,18)在双曲线y=𝑘𝑥上,∴18=𝑘12,∴k=216.(3)当x=16时,y=21616=13.5,∴当x=16时,大棚内的温度为13.5℃.类型4反比例函数在实际问题中的应用综合素养拓训1.[函数与方程之间的转化]已知,直角三角形ABC如图所示放置,∠ABC=90°,AB=10,BC=5,反比例函数y=𝑘𝑥经过点C(m,3).(1)求点A,B的坐标及m的值.(2)求反比例函数及直线AB的表达式.(3)将直线AB上下移动a个单位长度后,与反比例函数的图象只有唯一一个交点,求a的值.答案1.【解析】(1)过点C作CE⊥x轴于点E,则CE=3,∵BC=5,∴BE=52−32=4.∵∠ABC=90°,∴∠ABO+∠EBC=90°,又∵∠ABO+∠OAB=90°,∴∠OAB=∠EBC.∵∠AOB=∠BEC,∴△AOB∽△BEC,∴𝐴𝐵𝐵𝑂=𝐵𝐶𝐶𝐸,∴10𝐵𝑂=53,解得BO=6,∴AO=102−62=8,m=6+4=10,∴A(0,8),B(6,0),m=10.答案(2)将C(10,3)代入反比例函数y=𝑘𝑥中,得3=𝑘10,解得k=30,即y=30𝑥.设直线AB的表达式为y=k1x+b,将A(0,8),B(6,0)代入得𝑏=8,0=6𝑘1+𝑏,解得𝑘1=−43,𝑏=8,即y=-43x+8.(3)直线AB上下平移a个单位长度后,得y=-43x+8+a,∵平移后的直线与反比例函数y=30𝑥的图象只有唯一一个交点,∴方程30𝑥=-43x+8+a,即4x2-3(8+a)x+90=0只有一个根,∴Δ=9(8+a)2-4×4×90=0,解得a=±410-8.2.[反比例函数与图形相似的结合]如图,已知反比例函数y=𝑘𝑥(x0)的图象经过点A(1,4)、点B(m,n),其中m1,AM⊥x轴,垂足为M,BN⊥y轴,垂足为N,AM与BN的交点为C.(1)求该反比例函数的表达式.(2)求证:△ACB∽△NOM.(3)若△ACB与△NOM的相似比为2,求点B的坐标及直线AB的函数表达式.答案2.【解析】(1)∵反比例函数y=𝑘𝑥(x0)的图象经过点A(1,4),∴k=4×1=4,∴该反比例函数的表达式为y=4𝑥(x0).(2)∵点B(m,n)在反比例函数y=4𝑥(x0)的图象上,∴n=4𝑚.易得OM=1,BC=m-1,ON=4𝑚,AC=4-4𝑚,∴𝐵𝐶𝑂𝑀=𝑚−11=m-1,𝐴𝐶𝑂𝑁=4−4𝑚4𝑚=4𝑚−44=m-1,∴𝐵𝐶𝑂𝑀=𝐴𝐶𝑂𝑁.又∵∠ACB=∠M