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分层练透教材，多重拓展培优数学·九年级上册·北师第四章图形的相似课时学习区答案1.D【解析】A项,根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故A项不符合题意;B项,阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故B项不符合题意;C项,两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故C项不符合题意;D项,两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,故D项符合题意.故选D.1.[2020浙江杭州上城区二模]如图,在△ABC中,∠A=75°,AB=6,AC=8,将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()答案2.C【解析】矩形ABCD中,AE∥CD,∴∠FAE=∠FCD,∠FEA=∠FDC,∴△AEF∽△CDF.∵点E为AB边中点,∴CD=2AE.设△AEF的高为h,则△CDF的高为2h,∵S△AEF=1,∴𝑆△𝐶𝐷𝐹=12×CD·2h=CD·h=4𝑆△𝐴𝐸𝐹=4,∴CD·h=4,∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=12AB·3h=32CD·h=6.故选C.2.[2019辽宁丹东二模]如图,矩形ABCD中,点E为AB边中点,连接AC,DE交于点F,若△AEF的面积为1,则△ABC的面积为()A.3B.4C.6D.83.[2019湖南郴州北湖区模拟]如图,在△ABC中,AB=8cm,AC=16cm,点P从A出发,以2cm/s的速度向B运动,同时点Q从C出发,以3cm/s的速度向A运动,当其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设运动的时间为t.(1)用含t的代数式表示:AP=,AQ=.(2)当以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似时,求运动时间是多少.答案3.【解析】(1)2t16-3t(2)连接PQ.∵∠PAQ=∠BAC,∴当𝐴𝑃𝐴𝐵=𝐴𝑄𝐴𝐶时,△APQ∽△ABC,此时2𝑡8=16−3𝑡16,解得t=167.∵∠PAQ=∠BAC,∴当𝐴𝑃𝐴𝐶=𝐴𝑄𝐴𝐵时,△APQ∽△ACB,此时2𝑡16=16−3𝑡8,解得t=4.∴运动时间为167s或4s.4.[2019山西省实验中学模拟]从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如图1,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线.(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数.(3)如图2,在△ABC中,AC=2,BC=2,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形.求完美分割线CD的长.答案4.【解析】(1)∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,∴△ABC不是等腰三角形.∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=40°,∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD为等腰三角形.∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,∴△BCD∽△BAC,∴CD是△ABC的完美分割线.(2)当AD=CD时(如图1),∠ACD=∠A=48°.∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.当AD=AC时(如图2),∠ACD=∠ADC=180°−48°2=66°.∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.当AC=CD时,∠ADC=∠A=48°.答案∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,这与∠ADC∠BCD矛盾,故舍去.∴∠ACB的度数为96°或114°.(3)由题意知AD=AC=2,∵△BCD∽△BAC,∴𝐵𝐶𝐵𝐴=𝐵𝐷𝐵𝐶.设BD=x,则AB=BD+AD=x+2,∴(2)2=x·(x+2),解得x=-1±3.∵x0,∴x=3-1.∵△BCD∽△BAC,∴𝐶𝐷𝐴𝐶=𝐵𝐷𝐵𝐶=3−12,∴CD=3−12×2=2(3-1)=6−2.本题属于新定义题型,对新定义题目,一定要读懂并理解新定义的内容.解答本题时要牢记三角形的完美分割线的定义,还要注意运用分类讨论的思想.答案1.C【解析】∵DE∥BC,∴𝐴𝐷𝐷𝐵=𝐴𝐸𝐸𝐶,即93=𝐴𝐸2,∴AE=6,∴AC=AE+EC=6+2=8.故选C.1.[2019四川内江中考]如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=9,DB=3,CE=2,则AC的长为()A.6B.7C.8D.9答案2.B【解析】如图,∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=16,𝑆△𝐴′𝐸𝐹=9,且AD为BC边的中线,∴𝑆△𝐴′𝐷𝐸=12𝑆△𝐴′𝐸𝐹=92,𝑆△𝐴𝐵𝐷=12𝑆△𝐴𝐵𝐶=8,∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C',∴A'E∥AB,易得△DA'E∽△DAB,∴𝐴′𝐷𝐴𝐷2=𝑆△𝐴′𝐷𝐸𝑆△𝐴𝐵𝐷,即(𝐴′𝐷𝐴′𝐷+1)2=928=916,解得A'D=3或A'D=-37(舍去).故选B.2.[2019山东枣庄中考]如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面积为16,阴影部分三角形的面积为9.若AA'=1,则A'D等于()A.2B.3C.4D.32答案3.B【解析】如图,过点D作DM⊥BC交AB于点M,易证DC=DM,设CD=x,则DM=x,由DM∥AC,易得△BDM∽△BCA,所以𝐵𝐷𝐵𝐶=𝐷𝑀𝐴𝐶,即12−𝑥12=𝑥6,解得x=4.故选B.3.[2019安徽中考]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=12,点D在边BC上,点E在线段AD上,EF⊥AC于点F,EG⊥EF交AB于点G,若EF=EG,则CD的长为()A.3.6B.4C.4.8D.5答案4.(-5,-1)【解析】如图,P点坐标为(-5,-1).4.[2019山东烟台中考]如图,在直角坐标系中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABO的顶点坐标分别为A(-2,-1),B(-2,-3),O(0,0),△A1B1O1的顶点坐标分别为A1(1,-1),B1(1,-5),O1(5,1),△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形,则P点的坐标为.答案5.50【解析】如图,AM,BN都与水平线垂直,则AM∥BN,易知△ACM∽△BCN,∴𝐴𝐶𝐵𝐶=𝐴𝑀𝐵𝑁.∵杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1,∴𝐴𝑀𝐵𝑁=51,即AM=5BN,∴当BN≥10cm时,AM≥50cm,故要使这块石头滚动,至少要将杠杆的A端向下压50cm.5.[2019青海中考]如图是用杠杆撬石头的示意图,C是支点,当用力压杠杆的A端时,杠杆绕C点转动,另一端B向上翘起,石头就被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的B端必须向上翘起10cm,已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1,要使这块石头滚动,至少要将杠杆的A端向下压cm.6.[2019湖南长沙中考]根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.(1)某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”).①四条边成比例的两个凸四边形相似;(命题)②三个角分别相等的两个凸四边形相似;(命题)③两个大小不同的正方形相似.(命题)(2)如图1,在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中,∠ABC=∠A1B1C1,∠BCD=∠B1C1D1,𝐴𝐵𝐴1𝐵1=𝐵𝐶𝐵1𝐶1=𝐶𝐷𝐶1𝐷1.求证:四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似.(3)如图2,四边形ABCD中,AB∥CD,AC与BD相交于点O,过点O作EF∥AB,分别交AD,BC于点E,F.记四边形ABFE的面积为S1,四边形EFCD的面积为S2,若四边形ABFE与四边形EFCD相似,求𝑆2𝑆1的值.答案6.【解析】(1)①假②假③真(2)连接BD,B1D1.∵∠BCD=∠B1C1D1,𝐵𝐶𝐵1𝐶1=𝐶𝐷𝐶1𝐷1,∴△BCD∽△B1C1D1,∴∠CDB=∠C1D1B1,∠CBD=∠C1B1D1,𝐵𝐷𝐵1𝐷1=𝐵𝐶𝐵1𝐶1=𝐶𝐷𝐶1𝐷1,又∵𝐴𝐵𝐴1𝐵1=𝐵𝐶𝐵1𝐶1,∴𝐵𝐷𝐵1𝐷1=𝐴𝐵𝐴1𝐵1.∵∠ABC=∠A1B1C1,∴∠ABC-∠DBC=∠A1B1C1-∠D1B1C1,∴∠ABD=∠A1B1D1,∴△ABD∽△A1B1D1,答案∴𝐴𝐷𝐴1𝐷1=𝐴𝐵𝐴1𝐵1,∠A=∠A1,∠ADB=∠A1D1B1,∴𝐴𝐵𝐴1𝐵1=𝐵𝐶𝐵1𝐶1=𝐶𝐷𝐶1𝐷1=𝐴𝐷𝐴1𝐷1,∠ADB+∠CDB=∠A1D1B1+∠C1D1B1,∴∠ADC=∠A1D1C1,又∵∠ABC=∠A1B1C1,∠BCD=∠B1C1D1,∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似.(3)∵四边形ABFE与四边形EFCD相似,∴𝐷𝐸𝐴𝐸=𝐸𝐹𝐴𝐵.∵EF=OE+OF,∴𝐷𝐸𝐴𝐸=𝑂𝐸+𝑂𝐹𝐴𝐵.∵AB∥CD,EF∥AB,∴EF∥AB∥CD,答案易得𝐷𝐸𝐴𝐷=𝑂𝐸𝐴𝐵,𝐷𝐸𝐴𝐷=𝑂𝐶𝐴𝐶=𝑂𝐹𝐴𝐵,∴𝐷𝐸𝐴𝐷+𝐷𝐸𝐴𝐷=𝑂𝐸𝐴𝐵+𝑂𝐹𝐴𝐵,∴2𝐷𝐸𝐴𝐷=𝑂𝐸+𝑂𝐹𝐴𝐵=𝐷𝐸𝐴𝐸.又∵AD=DE+AE,∴2𝐷𝐸𝐷𝐸+𝐴𝐸=𝐷𝐸𝐴𝐸,∴2𝐷𝐸+𝐴𝐸=1𝐴𝐸,∴2AE=DE+AE,即AE=DE.又∵𝐶𝐹𝐵𝐹=𝐶𝐷𝐸𝐹=𝐸𝐹𝐴𝐵=𝐷𝐸𝐴𝐸=1,∴𝑆2𝑆1=1.