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二次函数y＝ax2的图象和性质1．关于二次函数y＝8x2的图象，下列说法错误的是(C)A．它的形状是一条抛物线B．它的开口向上，且关于y轴对称C．它的顶点是抛物线的最高点D．它的顶点在原点处，坐标为(0，0)【解析】∵抛物线y＝8x2中二次项系数为8，∴此抛物线的开口向上，顶点为(0，0)，它应是抛物线的最低点．2．对于二次函数y＝－34x2，下列说法错误的是(A)A．开口向上B．对称轴为y轴C．顶点坐标为(0，0)D．当x＝0时，y有最大值0【解析】当a＝－34＜0时，二次函数的图象开口向下．3．若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点(A)A．(2，4)B．(－2，－4)C．(－4，－2)D．(4，－2)4．已知二次函数：y＝2013x2，y＝－2013x2，y＝12014x2，y＝－12014x2，它们图象的共同特点为(D)A．都关于原点对称，开口方向向上B．都关于x轴对称，y随x增大而增大C．都关于y轴对称，y随x增大而减小D．都关于y轴对称，顶点都是原点【解析】根据y＝ax2的图象特征判断．D正确．5．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是(D)A．y＝x2B．y＝x－1C．y＝34xD．y＝1x【解析】A不正确，二次函数y＝x2的对称轴为x＝0，在对称轴右侧y随x的增大而增大；B、C中y随x的增大而增大，均不正确，D正确．图22－1－76．函数y＝x2，y＝12x2，y＝2x2的图象大致如图22－1－7所示，则图中从里到外的三条抛物线对应的函数依次是(D)A．y＝12x2，y＝x2，y＝2x2B．y＝x2，y＝12x2，y＝2x2C．y＝2x2，y＝12x2，y＝x2D．y＝2x2，y＝x2，y＝12x2【解析】|a|越大，抛物线y＝ax2的开口越小．7．抛物线y＝－23x2的开口向__下__，顶点坐标为(0，0)，顶点是抛物线的最高点，当x＝__0__时，函数有最大值为__0__．8．若二次函数y＝(m＋2)xm2－3的图象开口向下，则m＝__－5__．【解析】根据题意知m＋20，m2－3＝2，解得m＝－5.9．一个二次函数的图象如图22－1－8所示，图象过点(－2，3)，则它的解析式为__y＝34x2__，当x＝__0__时，函数有最__小__值为__0__，若另一个函数图象与此图象关于x轴对称，那么另一个函数的解析式为__y＝－34x2__，当x＝__0__时，函数y有最__大__值为__0__．图22－1－8【解析】设y＝ax2，则3＝4a，a＝34，∴y＝34x2.当x＝0时，y有最小值．关于x轴对称的抛物线的解析式中a值互为相反数．10．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：y＝12x2，y＝x2，y＝－x2.解：列表：x…－3－2－10123…y＝12x2…202…y＝x2…914…y＝－x2…－1－1－9…描点、连线画图象．(1)完成上述表格，在图22－1－9中画出其余的两个函数的图象；(2)由图22－1－9中的三个函数图象，请总结二次函数y＝ax2中a的值与它的图象有什么关系？图22－1－9解：(1)第二行依次填92，12，12，92；第三行依次填4，0，1，9；第四行依次填－9，－4，0，－4.图象略．(2)a的符号决定抛物线的开口方向，|a|的大小决定抛物线的开口大小．11．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是(C)【解析】在同一平面直角坐标系中，a值的正、负情况应保持一致，只有A、C符合条件，又因为两图象应有两个交点，故选C.12．已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)．(1)求此抛物线的函数解析式；(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上；(3)求出此抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．解：(1)把(－2，－8)代入y＝ax2，得－8＝a×(－2)2，解出a＝－2，所求抛物线的函数解析式为y＝－2x2.(2)因为－4≠－2×(－1)2，所以点B(－1，－4)不在此抛物线上．(3)由－6＝－2x2，得x2＝3，x＝±3，所以抛物线上纵坐标为－6的点有两个，它们分别是(3，－6)，(－3，－6)．图22－1－1013．如图22－1－10，已知直线l过A(4，0)，B(0，4)两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内相交于点P.若△AOP的面积为92，求a的值．解：设点P(x，y)，直线AB的解析式为y＝kx＋b，将A(4，0)，B(0，4)分别代入y＝kx＋b，得k＝－1，b＝4，故y＝－x＋4，∵△AOP的面积为92＝12×4×y∴y＝94再把y＝94代入y＝－x＋4，得x＝74，所以P(74，94)把P(74，94)代入到y＝ax2中得：a＝3649.14．问题情境：如图22－1－11，在x轴上有两点A(m，0)，B(n，0)(nm0)，分别过点A，点B作x轴的垂线，交抛物线y＝x2于点C，点D，直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F，点E，点F的纵坐标分别为yE，yF.特例探究：填空：当m＝1，n＝2时，yE＝________，yF＝________；当m＝3，n＝5时，yE＝________，yF＝________．归纳证明：对任意m，n(nm0)，猜想yE与yF的大小关系，并证明你的猜想．拓展应用：(1)若将“抛物线y＝x2”改为“抛物线y＝ax2(a0)”，其他条件不变，请直接写出yE与yF的大小关系；(2)连接EF，AE.当S四边形OFEB＝3S△OFE时，直接写出m与n的关系及四边形OFEA的形状．图22－1－11解：221515归纳证明：猜想：yE＝yF.证明：∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，A，B的坐标分别为A(m，0)，B(n，0)，∴C，D的横坐标分别为m，n.∵C，D在抛物线y＝x2上，∴C点的坐标为(m，m2)，D点的坐标为(n，n2)．设直线OC的解析式为y＝k1x，直线OD的解析式为y＝k2x，∴m2＝k1m，n2＝k2n，解得k1＝m，k2＝n，∴直线OC的解析式为y＝mx.直线OD的解析式为y＝nx，把E，F的横坐标分别代入y＝mx与y＝nx得yE＝mn，yF＝mn，∴yE＝yF.拓展应用：(1)yE＝yF.(2)n＝2m，四边形OAEF为平行四边形．