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二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋k的图象和性质[见B本P14]1．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是(C)A．直线x＝12B．直线x＝－12C．y轴D．直线x＝22．下列函数中，图象形状、开口方向相同的是(B)①y＝－x2；②y＝－2x2；③y＝12x2－1；④y＝x2＋2；⑤y＝－2x2＋3.A．①④B．②⑤C．②③⑤D．①②⑤【解析】a决定抛物线的开口方向与形状大小，②⑤中a相同，选B.3．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是(C)A．y＝(x－1)2＋2B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝x2＋1D．y＝x2＋34．[2013·德州]下列函数中，当x0时，y随x的增大而增大的是(B)A．y＝－x＋1B．y＝x2－1C．y＝1xD．y＝－x2＋15．抛物线y＝－2x2－5的开口向__下__，对称轴是__y轴__，顶点坐标是__(0，－5)__．【解析】根据抛物线y＝ax2＋c的特征解答即可．6．抛物线y＝13x2－4可由抛物线y＝13x2沿__y__轴向__下__平移__4__个单位而得到，它的开口向__上__，顶点坐标是__(0，－4)__，对称轴是__y轴__，当__x＝0__时，y有最__小__值为__－4__，当__x0__时，y随x的增大而增大，当__x0__时，y随x的增大而减小．【解析】抛物线y＝13x2－4与y＝13x2的形状相同，但位置不同，抛物线y＝13x2－4的图象可由抛物线y＝13x2的图象沿y轴向下平移4个单位而得到，画出草图回答问题较方便．7．[2013·湛江]抛物线y＝x2＋1的最小值是__1__．顶点是__(0，1)__．8．(1)填表：x…－2－1012…y＝－2x2y＝－2x2＋1y＝－2x2－1(2)在同一直角坐标系中，作出上述三个函数的图象；(3)它们三者的图象有什么异同？它们的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？(4)由抛物线y＝－2x2怎样平移得到抛物线y＝－2x2＋1与y＝－2x2－1?解：(1)略(2)略(3)它们三者图象的形状相同，但位置不同，开口方向都向下，对称轴都为y轴，顶点不同，分别为(0，0)，(0，1)，(0，－1)；(4)抛物线y＝－2x2＋1可由抛物线y＝－2x2向上平移1个单位得到；抛物线y＝－2x2－1可由抛物线y＝－2x2向下平移1个单位得到．9．二次函数y＝－12x2＋c的图象经过点－3，92，与x轴交于A，B两点，且A点在B点左侧．(1)求c的值；(2)求A，B两点的坐标．解：(1)∵抛物线经过点－3，92，∴－12×(－3)2＋c＝92，∴c＝6.(2)∵c＝6，∴抛物线为y＝－12x2＋6.令y＝0，则－12x2＋6＝0，解得x1＝23，x2＝－23，∵A点在B点左侧，∴A(－23，0)，B(23，0)．10．如图22－1－12，两条抛物线y1＝－12x2＋1、y2＝－12x2－1与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为(A)图22－1－12A．8B．6C．10D．4【解析】两条抛物线的形状大小、开口方向相同，阴影部分面积等于相邻边长为4和2的长方形面积，即等于8.11．抛物线y＝ax2＋k与y＝－8x2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，－6)，则其表达式为____y＝－8x2－6____，它是由抛物线y＝－8x2向__下__平移__6__个单位得到的．【解析】根据两抛物线的形状大小相同，开口方向相同，可确定a值，再根据顶点坐标(0，－6)，可确定k值，从而可判断平移方向．∵抛物线y＝ax2＋k与y＝－8x2的形状大小相同，开口方向也相同，∴a＝－8.又∵其顶点坐标为(0，－6)，∴k＝－6，∴y＝－8x2－6，它是由抛物线y＝－8x2向下平移6个单位得到的．12．已知函数y＝ax2＋c的图象过点(－2，－7)和点(1，2)．(1)求这个函数的关系式；(2)画这个函数的图象；(3)求这个函数的图象与x轴交点的坐标．【解析】(1)将两点坐标代入函数的关系式，可得到关于a，c的二元一次方程组．(2)列表、描点、连线．(3)求y＝0时x的值．解：(1)∵y＝ax2＋c的图象过(－2，－7)，(1，2)两点，∴4a＋c＝－7，a＋c＝2.∴a＝－3，c＝5.∴y＝－3x2＋5.(2)列表：x－2－112－1－1201211122y＝－3x2＋5－7－134241454142－134－7描点、连线：(3)当y＝0时，－3x2＋5＝0，解得x1＝153，x2＝－153，故函数图象与x轴的交点坐标为153，0和－153，0.13．如图22－1－13(a)，有一座抛物线拱桥，当水位在AB时，水面宽20m，这时，拱高(O点到AB的距离)为4m.图22－1－13(1)你能求出图22－1－13(a)的坐标系中抛物线的解析式吗？(2)如果将直角坐标系建在图22－1－13(b)所示位置，抛物线的形状、顶点、解析式相同吗？【解析】观察抛物线的对称轴和顶点位置是解本题的关键．解：(1)由图象知，抛物线顶点为(0，0)，且抛物线过A(－10，－4)，B(10，－4)，可设y＝ax2，把A点或B点坐标代入可得a＝－125，所以y＝－125x2；(2)由图象可知，抛物线顶点为(0，4)，故可设y＝ax2＋4.又y＝ax2＋4的图象过A(－10，0)，B(10，0)，将A点或B点坐标代入可得0＝100a＋4，解得a＝－125，所以y＝－125x2＋4.因为两抛物线解析式的a相同，所以两抛物线形状相同，顶点不同，解析式不同．图22－1－1414．如图22－1－14所示，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m．以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m.(1)求抛物线的解析式；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2m，宽2.4m，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明．【解析】(1)抛物线关于y轴对称，顶点为(0，6)，可设抛物线的解析式为y＝ax2＋6，又因为抛物线过(4，2)，代入到y＝ax2＋6中，则可求出a的值；(2)将x＝2.4代入到所求的函数解析式中，得到的y值与4.2比较大小，y值比4.2大，则这辆货运卡车能通过该隧道，反之，则不能通过．解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋6，∵抛物线过(4，2)点，∴16a＋6＝2，∴a＝－14，∴抛物线的解析式为y＝－14x2＋6.(2)当x＝2.4时，y＝－14x2＋6＝－1.44＋6＝4.564.2，故这辆货运卡车能通过该隧道．图22－1－1515．某水渠的横截面呈抛物线状，水面的宽度为AB(单位：米)，现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图22－1－15所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O.已知AB＝8米，设抛物线解析式为y＝ax2－4.(1)求a的值；(2)点C(－1，m)是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积．解：(1)∵AB＝8，由抛物线的性质可知OB＝4，∴B(4，0)，把B点坐标代入解析式得：16a－4＝0，解得：a＝14；(2)过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F，∵a＝14，∴y＝14x2－4，令x＝－1，∴m＝14×(－1)2－4＝－154，∴C(－1，－154)，∵C关于原点对称点为D，∴D的坐标为(1，154)，则CE＝DF＝154S△BCD＝S△BOD＋S△BOC＝12OB·DF＋12OB·CE＝12×4×154＋12×4×154＝15，∴△BCD的面积为15平方米．第2课时二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质[见A本P16]1．与函数y＝2(x－2)2形状相同的抛物线解析式是(D)A．y＝1＋12x2B．y＝(2x＋1)2C．y＝(x－2)2D．y＝2x22．关于二次函数y＝－(x－2)2的图象，下列说法正确的是(D)A．是中心对称图形B．开口向上C．对称轴是x＝－2D．最高点是(2，0)3．抛物线y＝(x－1)2的顶点坐标是(A)A．(1，0)B．(－1，0)C．(－2，1)D．(2，－1)4．下列关于抛物线y＝4(x－1)2＋2的说法中，正确的是(B)A．开口向下B．对称轴为x＝1C．与x轴有两个交点D．顶点坐标为(－1，0)5．二次函数y＝2(x－32)2图象的对称轴是直线__x＝32__.6．函数：①y＝12x－3，②y＝－2x(x0)，③y＝(1－x)2(x1)，其中y随x的增大而增大的有__①②③__(填序号)．解：∵y＝12x－3中，k＝120，∴y随x的增大而增大；∵函数y＝－2x中k＝－2，∴当x0时，y随x的增大而增大；∵y＝(1－x)2(x1)中，开口向上，对称轴为x＝1，∴当x1时，y随x的增大而增大，故答案为①②③.7．二次函数y＝(x－2)2，当__x＜2__时，y随x的增大而减小．8．抛物线y＝－23(x＋2)2开口__向下__，对称轴为__直线x＝－2__，顶点坐标为__(－2，0)__，当x＝__－2__时，函数有最__大__值为__0__．9．抛物线y＝2(x－2)2与x轴交点A的坐标为__(2，0)__，与y轴交点B的坐标为__(0，8)__，S△AOB＝__8__．【解析】画草图帮助理解题意．当x＝2时，y＝0；当x＝0时，y＝8，S△AOB＝12×OA×OB＝12×2×8＝8.10．已知：抛物线y＝－14(x＋1)2.(1)写出抛物线的对称轴；(2)完成下表；x…－7－313…y…－9－1…(3)在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象．图22－1－16解：(1)抛物线的对称轴为x＝－1.(2)填表如下：x…－7－5－3－1135…y…－9－4－10－1－4－9…(3)描点作图如下：11．确定下列函数图象的开口方向及对称轴、顶点坐标．(1)y＝2(x＋1)2(2)y＝－4(x－5)2.解：(1)由y＝2(x＋1)2可知，二次项系数为2＞0，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1，0)．(2)由y＝－4(x－5)2可知，二次项系数为－4＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝5，顶点坐标为(5，0)．12．已知二次函数y＝－3(x－5)2，写出抛物线的顶点坐标、对称轴、x在什么范围内y随x的增大而减小、x取何值时函数有最值，并写出最值．解：根据二次函数的解析式y＝－3(x－5)2，知函数图象的顶点为(5，0)，对称轴为x＝5；函数y＝－3(x－5)2的图象开口向下，对称轴x＝5，故当x≥5时，函数值y随x的增大而减小；∵－3＜0，∴二次函数的开口向下，当x＝5时，二次函数图象在最高点，函数的最大值为0.13．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为x＝－2，与y轴交于点(0，2)．(1)求a和h的值；(2)求其关于y轴对称的抛物线的解析式．解：(1)∵对称轴为x＝－2，∴h＝－2，∵与y轴交于点(0，2)，∴a·22＝2，∴a＝12；(2)抛物线关于y轴的对称抛物线的顶点坐标为(2，0)，所以，关于y轴对称的抛物线的解析式为y＝12(x－2)2.14．(1)求抛物线y＝2(x－h)2关于y轴对称的抛物线的函数解析式．(2)若将(1)中的抛物线变为y＝a(x－h)2，请直接写出关于y轴对称的抛物线的函数解析式，你还能写出它关于x轴、关于原点对称的新抛物线的函数解析式吗？请尝试研究，并与同伴交流．解：(1)∵抛物线y＝2(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，∴关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为(－h，0)，∴关于y轴对称的抛物线的函数解析式为y＝2(x＋h)2；(2)抛物线y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，∵关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为(－h，0)，抛物线开口方向不变，∴关于y轴对称的抛物线解析式为y＝a(x＋h)2；∵关于x轴对称的抛物线的顶点