九年级数学上册223实际问题与二次函数同步测试新人教版

实际问题与二次函数第1课时二次函数与图形面积问题[见A本P23]1．小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是(A)A．4cm2B．8cm2C．16cm2D．32cm2【解析】设矩形一边长为xcm，则另一边长为(4－x)cm，则S矩形＝x(4－x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4(0＜x＜4)，故当x＝2时，S最大值＝4cm2.选A.2．如图22－3－1所示，点C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A)图22－3－1A．当C是AB的中点时，S最小B．当C是AB的中点时，S最大C．当C为AB的三等分点时，S最小D．当C为AB的三等分点时，S最大【解析】设AC＝x，则BC＝1－x，所以S＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2x－122＋12.因为二次项系数大于0，所以当x＝12时，S的值最小，即点C是AB的中点时，两个正方形的面积和最小，故选A.3．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足关系y＝－(x－12)2＋144(0x24)，则该矩形面积的最大值为__144__m2.【解析】直接根据二次函数的性质作答，当x＝12时，y有最大值为144.4．在边长为4m的正方形铅皮中间挖去一个面积至少是1m2的小正方形，则剩下的四方框形铅皮的面积y(m2)与小正方形边长x(m)之间的函数关系式是__y＝－x2＋16(1≤x4)__，y的最大值是__15__m2.【解析】y＝S大正方形－S小正方形，所以y＝42－x2，即y＝－x2＋16，又1≤x4，所以当x＝1时，y最大值为15m2.5．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__12.5__cm2.【解析】设剪成的两段长分别为xcm，(20－x)cm，这两个正方形面积之和为y，则y＝x42＋20－x42＝116(x2＋400－40x＋x2)＝116(2x2－40x＋400)＝18(x2－20x＋200)＝18[(x2－20x＋100)＋100]＝18(x－10)2＋12.5，故两个正方形面积之和的最小值为12.5cm2.6．某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图22－3－2所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗．他已备足可以修高为1.5m、长为18m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm，即AD＝EF＝BC＝xm．(不考虑墙的厚度)(1)若想使水池的总容积为36m3，x应等于多少？(2)求水池的总容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；(3)若想使水池的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？图22－3－2【解析】(1)水池的容积为长×宽×高，而长为xm，则宽为(18－3x)m，高为1.5m，根据总容积为36m3，易列方程求x的值；(2)，(3)根据容积V与x的函数关系，结合二次函数性质即可求解．解：(1)∵AD＝EF＝BC＝x，∴AB＝18－3x，∴水池的总容积为1.5x(18－3x)＝36，即x2－6x＋8＝0，解得x＝2或4，∴x应为2或4.(2)由(1)知V与x的函数关系式为：V＝1.5x(18－3x)＝－4.5x2＋27x，x的取值范围是0x6.(3)V＝－4.5x2＋27x＝－92(x－3)2＋812，∴当x＝3时，V有最大值40.5，∴若使水池的总容积最大，x应为3，最大容积为40.5m3.7．如图22－3－3，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，AD＝4cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x(s)，△PBQ的面积为y(cm2)．(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求△PBQ的面积的最大值．图22－3－3解：(1)∵S△PBQ＝12PB·BQ，PB＝AB－AP＝18－2x，BQ＝x，∴y＝12(18－2x)x，即y＝－x2＋9x(0x≤4)．(2)由(1)知y＝－x2＋9x，∴y＝－x－922＋814.∵当0x≤92时，y随x的增大而增大，而0x≤4，∴当x＝4时，y最大值＝20，即△PBQ的最大面积是20cm2.8如图22－3－4，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知E，F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝BF＝x(cm)．(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；(2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S最大，试问x应取何值．图22－3－4解：(1)根据题意，知这个正方体的底面边长a＝2x，EF＝2a＝2x，∵AE＋EF＋BF＝AB，∴x＋2x＋x＝24，∴x＝6，∴a＝62，∴V＝a3＝(62)3＝4322(cm3)．(2)设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a＝2x，h＝24－2x2＝122－2x，∴S＝4ah＋a2＝42x·2(12－x)＋(2x)2＝－6x2＋96x＝－6(x－8)2＋384.∵0x12，∴当x＝8时，S取得最大值384cm2.9．已知在△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20.(1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；(2)当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？(3)当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说明理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．解：(1)依题意得：y＝12x(20－x)＝－12x2＋10x(0x20)，解方程48＝－12x2＋10x得：x1＝12，x2＝8.∴当△ABC面积为48时BC的长为12或8.(2)由(1)得：y＝－12x2＋10x＝－12(x－10)2＋50，∴当x＝10即BC＝10时，△ABC的面积最大，最大面积是50.(3)△ABC的周长存在最小的情形，理由如下：由(2)可知△ABC的面积最大时，BC＝10，BC边上的高也为10，过点A作直线l平行于BC，作点B关于直线l的对称点B′，连接B′C交直线l于点A′，再连接A′B，AB′，则由对称性得：A′B′＝A′B，AB′＝AB，∴A′B＋A′C＝A′B′＋A′C＝B′C，当点A不在线段B′C上时，则由三角形三边关系可得：L＝AB＋AC＋BC＝AB′＋AC＋BCB′C＋BC，当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，这时L＝AB＋AC＋BC＝A′B′＋A′C＋BC＝B′C＋BC，因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小；这时由作图可知：BB′＝20，∴B′C＝202＋102＝105，∴L＝105＋10，因此当ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为105＋10.10．用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架(如图22－3－5中的一种)．设竖档AB＝x米，请根据图中图案回答下列问题：(题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有线段的长度和，所有横档和竖档分别与AD，AB平行)(1)在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？(2)在图②中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(3)在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？图22－3－5解：(1)当不锈钢材料总长度为12米，共有3条竖档时，BC＝12－3x3＝4－x，∴矩形框架ABCD的面积为AB·BC＝x(4－x)．令x(4－x)＝3，解得x＝1或3，∴当x＝1或3时，矩形框架ABCD的面积为3平方米．(2)当不锈钢材料总长度为12米，共有4条竖档时，BC＝12－4x3，∴矩形框架ABCD的面积S＝x·12－4x3＝－43x2＋4x，当x＝－42×－43＝32时，S最大值＝3，∴当x＝32时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为3平方米．(3)当不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档时，BC＝a－nx3，∴矩形框架ABCD的面积S＝x·a－nx3＝－n3x2＋a3x，当x＝－a32×－n3＝a2n时，S最大值＝a212n，∴当x＝a2n时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为a212n平方米．第2课时二次函数与最大利润问题[见B本P24]1．烟花厂为扬州“烟花三月”国际经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－52t2＋20t＋1，若这种礼炮在最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为(B)A．3sB．4sC．5sD．6s【解析】当t＝－b2a时，即t＝－202×－52＝4(s)时，礼炮升到最高点，故选B.2．某旅行社有100张床位，每床每晚收费20元时，客床可全部租出，若每床每晚每次收费提高4元时，则减少10张床位租出；以每次提高4元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高(C)A．8元或12元B．8元C．12元D．10元【解析】设每床每晚应提高x元，则减少出租床x4·10张，所获利润y＝(20＋x)100－x4·10，即y＝－52x2＋50x＋2000＝－52(x－10)2＋2250.由x是4的正整数倍和抛物线y＝－52(x－10)2＋2250关于x＝10对称可知，当x＝8或x＝12时，获利最大，又因为出租床位较少时，投资费用少，故选C.3．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8－x)个，则当x＝__4__元时，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．【解析】依题意得y＝x(8－x)＝－(x－4)2＋16，当x＝4时，y取得最大值．4．将进货单价为70元的某种商品按零售单价100元售出时，每天能卖出20个，若这种商品零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为获得最大利润，应降价__5元__．【解析】设降价x元，所获利润为y元，则有y＝(100－70－x)(20＋x)＝－x2＋10x＋600＝－(x－5)2＋625.当x＝5时，y值最大，故应降价5元．5．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元(天数不是一天时，按整天计算)．设销售单价为x元，日均获利为y元，那么：(1)y关于x的二次函数关系式为__y＝－2x2＋260x－6__500(30≤x≤70)__；(2)当销售单价定为__65__元时，日均获利最大，日均获利最大为__1__950__元．【解析】(1)当销售单价为x元时，实际降价了(70－x)元，日均销售量为[60＋2(70－x)]千克，日均获利为[60＋2(70－x)]x－30[60＋2(70－x)]－500＝(x－30)[60＋2(70－x)]－500，所以y＝(x－30)[60＋2(70－x)]－500＝－2x2＋260x－6500(30≤x≤70)．(2)因为y＝－2x2＋260x－6500＝－2(x－65)2＋1950，所以当销售单价定为65元时，日均获利最大，最大利润为1950元．6．某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖出10件(每件售价不能高于72元)，设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？解：(