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24．1.2垂直于弦的直径1．下列命题错误的是(B)A．平分弧的直径平分这条弧所对的弦B．平分弦的弦垂直于这条弦C．垂直于弦的直径平分这条弦D．弦的中垂线经过圆心2．如图24－1－13，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为(C)图24－1－13A．10B．8C．5D．33．如图24－1－14，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是(D)图24－1－14A．CM＝DMB.CB︵＝DB︵C．∠ACD＝∠ADCD．OM＝MD【解析】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，∴M为CD的中点，即CM＝DM，选项A成立；B为CD︵的中点，即CB︵＝DB︵，选项B成立；在△ACM和△ADM中，∵AM＝AM，∠AMC＝∠AMD＝90°，CM＝DM，∴△ACM≌△ADM(SAS)，∴∠ACD＝∠ADC，选项C成立；而OM与MD不一定相等，选项D不成立．4．如图24－1－15，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C.若AB＝23，OC＝1，则半径OB的长为__2__．图24－1－15【解析】∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝23，∴BC＝12AB＝3.∵OC＝1，∴在Rt△OBC中，OB＝OC2＋BC2＝12＋（3）2＝2.5．如图24－1－16，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，AM＝18，BM＝8，则CD的长为__24__．【解析】如图，连接OD，∵AM＝18，BM＝8，∴OD＝AM＋BM2＝18＋82＝13，∴OM＝13－8＝5.在Rt△ODM中，DM＝OD2－OM2＝132－52＝12，∵直径AB丄弦CD，∴CD＝2DM＝2×12＝24.图24－1－16第5题答图6．如图24－1－17，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦AB于点D，交⊙O于点C，AB＝24，则CD的长是__8__．图24－1－17第6题答图【解析】如图，连接OA，∵OC⊥AB，AB＝24，∴AD＝12AB＝12.在Rt△AOD中，∵OA＝13，AD＝12，∴OD＝OA2－AD2＝132－122＝5，∴CD＝OC－OD＝13－5＝8.7．如图24－1－18，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点(不与A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为__4__.图24－1－18【解析】∵OC⊥AP，OD⊥PB，∴由垂径定理得AC＝PC，PD＝BD，∴CD是△APB的中位线，∴CD＝12AB＝12×8＝4.8．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图24－1－19所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__8__mm.图24－1－19第8题答图【解析】如图，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD.∵钢珠的直径是10mm，∴钢珠的半径是5mm.∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，∴OD＝3mm.在Rt△AOD中，∵AD＝OA2－OD2＝52－32＝4(mm)，∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)．9．如图24－1－20所示，AB是⊙O的弦(非直径)，C，D是AB上的两点，并且AC＝BD.求证：OC＝OD.图24－1－20第9题答图证明：如图，过O作OE⊥AB于E，则AE＝BE，又∵AC＝BD，∴CE＝DE，∴OE是CD的中垂线，∴OC＝OD.10．绍兴是著名的桥乡，如图24－1－21，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为(D)图24－1－21A．4mB．5mC．6mD．8m11．如图24－1－22，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为(B)图24－1－22A．2B．3C．4D．5【解析】连接OD.∵直径AB⊥CD于H，∴DH＝12CD＝12×22＝2.在Rt△BDH中，BH＝BD2－DH2＝（3）2－（2）2＝1.设⊙O的半径为R，则在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，∴(R－1)2＋(2)2＝R2，∴2R＝3，故选B.12．[2013·吉林]如图24－1－23，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB.点P是半径OB上任意一点，连接AP.若OA＝5cm，OC＝3cm，则AP的长度可能是__答案不唯一，5≤AP≤8__cm(写出一个符合条件的数值即可)．图24－1－2313．如图24－1－24，两个圆都以点O为圆心．求证：AC＝BD.图24－1－24第13题答图证明：过点O作OE⊥AB于E，在小⊙O中，∵OE⊥AB，∴EC＝ED，在大⊙O中，∵OE⊥AB，∴EA＝EB，∴AC＝BD.14．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为了更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，图24－1－25是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．图24－1－25第14题答图解：(1)作出图形，如图所示；(2)如图，过O作OC⊥AB于D，交弧AB于C，连接OB，∵OC⊥AB，∴BD＝12AB＝12×16＝8(cm)．由题意可知CD＝4cm.设这个圆形截面的半径为xcm，则OD＝(x－4)cm.在Rt△BOD中，由勾股定理得OD2＋BD2＝OB2，即(x－4)2＋82＝x2，解得x＝10，∴这个圆形截面的半径为10cm.15．如图24－1－26，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A，B和C，D，连接OA，此时有OA∥PE.(1)求证：AP＝AO；(2)若弦AB＝102，求点O到直线PF的距离；(3)若以图中已标明的点(即P，A，B，C，D，O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为__________________．图24－1－26第15题答图解：(1)∵PG平分∠EPF，∴∠DPO＝∠BPO.∵OA∥PE，∴∠DPO＝∠POA，∴∠BPO＝∠POA，∴AP＝AO.(2)如图，过点O作OH⊥AB于点H，则AH＝HB，∵AB＝102，∴AH＝52∵OA＝10，∴OH＝OA2－AH2＝102－（52）2＝52.(3)P，A，O，CA，B，D，C或P，A，O，D或P，C，O，B