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与垂径定理有关的辅助线一连半径构造直角三角形(教材P83练习第1题)如图1，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．图1变形1答图解：作OE⊥AB于E，连接OA，则AE＝12AB＝12×8＝4(cm)，OE＝3cm，∴OA＝AE2＋OE2＝42＋32＝5(cm)．【思想方法】求圆中的弦长时，通常连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解．如图2，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O的直径为(D)A．8B．10C．16D．20【解析】如图，连接OC，根据题意，得CE＝12CD＝6，BE＝2.在Rt△OEC中，设OC＝x，则OE＝x－2，故(x－2)2＋62＝x2，解得x＝10，即直径AB＝20.图2图3“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图3所示，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，求直径CD长是多少寸．”(注：1尺＝10寸)解：∵AB⊥CD，∴AE＝BE.∵AB＝10，∴AE＝5.在Rt△AOE中，∵OA2＝OE2＋AE2，∴OA2＝(OA－1)2＋52，∴OA＝13，∴CD＝2OA＝26(寸)．二作弦心距巧解题(教材P90习题24.1第10题)⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，求AB和CD的距离．解：第一种情况：如图(1)，两弦在圆心的同一侧时，已知CD＝10cm，∴DE＝5cm.∵OD＝13cm，∴利用勾股定理可得OE＝12cm.同理可求OF＝5cm，∴EF＝7cm.第二种情况：EF＝OE＋OF＝17cm.【思想方法】已知弦长和圆的半径，常作弦心距，构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理求解是常用方法．如图4，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB＝30cm，CD＝16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．图4变形1答图解：如图，过点O作OE⊥AB，交CD于F，连接OA，∵AB∥CD，∴OF⊥CD.在Rt△OAE中，∵OA＝17，AE＝BE＝12AB＝15，∴OE＝8，同理可求OF＝15.∵圆心O位于AB，CD的上方，∴EF＝OF－OE＝15－8＝7(cm)，即AB和CD的距离是7cm.如图5所示，若⊙O的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为__24__cm.【解析】点P到圆心的最短距离即点O到弦AB的垂线段的长度，当点P是AB中点时，连接OA，则AB＝2AP＝2OA2－OP2＝2132－52＝2×12＝24(cm)．图5图6如图6，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为(C)A．3B．4C．32D．42【解析】如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD.由垂径定理、勾股定理，得OM＝ON＝52－42＝3.∵弦AB，CD互相垂直，∴∠DPB＝90°.∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP＝∠ONP＝90°，∴四边形MONP是正方形，∴OP＝32，故选C.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图7所示，已知EF＝CD＝16cm，则球的半径为__10__cm.图7变形4答图【解析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取弧EF所在圆的圆心为O，连接OF.设OF＝x，则OM＝16－x，MF＝8，在直角三角形OMF中，OM2＋MF2＝OF2，即(16－x)2＋82＝x2，解得x＝10.当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图8所示(单位：cm)，那么该圆的半径为__256__cm.图8【解析】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，∵OD⊥AB，∴AD＝12AB＝12(9－1)＝4.设OA＝r，则OD＝r－3，在Rt△OAD中，OA2－OD2＝AD2，即r2－(r－3)2＝42，解得r＝256cm.如图9所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3m，弓形的高EF＝1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．图9解：由垂径定理得BF＝12AB＝1.5，OE⊥AB，设圆O半径为x，则OF＝x－1，在Rt△OBF中，根据勾股定理得x2＝1.52＋(x－1)2，解得x＝1.625，即圆O的半径是1.625m.某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度为7.2m，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD＝2.4m(如图10所示)．现有一艘宽3m、船舱顶部为方形并高出水面AB2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？图10解：如图，连接ON，OB，且设DE为船舱的高．∵OC⊥AB，∴D为AB中点．∵AB＝7.2m，∴BD＝12AB＝3.6m．又CD＝2.4m，设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝(r－2.4)m.在Rt△BOD中，根据勾股定理得r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9m.∵CD＝2.4m，船舱顶部为方形并高出水面AB2m，∴CE＝2.4－2＝0.4(m)，∴OE＝r－CE＝3.9－0.4＝3.5(m)．在Rt△OEN中，EN2＝ON2－OE2＝3.92－3.52＝2.96，∴EN＝2.96，∴MN＝2EN＝2×2.96≈3.44(m)＞3(m)，∴此货船能顺利通过这座拱桥．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图11所示，正常水位下水面宽AB＝60m，水面到拱顶距离CD＝18m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5m时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．图11解：不需要采取紧急措施．理由如下：设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，OC＝R－18，∴R2＝302＋(R－18)2解得R＝34(m)．如图，连接OM，设DE＝x，在Rt△MOE中，ME＝16，∴342＝162＋(34－x)2，即x2－68x＋256＝0，解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)，∴DE＝4.∵4m＞3.5m，∴不需采取紧急措施．