九年级数学上册专题十一不规则图形面积计算的技巧同步测试新人教版

不规则图形面积计算的技巧(教材P115习题24.4第4题)图1如图1，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积．解：方法一：由图形可以看出，4个相同阴影部分的面积＝4个半圆的面积－正方形的面积＝12πa2－a2.方法二：阴影部分和空白部分都由四部分组成，且形状大小一样，因此可以根据图形中隐含的数量关系来构造方程求解．设每一部分的阴影部分面积为x，每一部分的空白部分面积为y，根据图形得2x＋y＝12πa22，4x＋4y＝a2，解得x＝18πa2－a24，y＝a22－18πa2，所以阴影部分面积＝4x＝418πa2－a24＝12πa2－a2.【思想方法】将阴影部分的面积转化为规则图形的面积的和差．图2如图2，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为__1.7__．(结果保留两个有效数字，参考数据：π≈3.14)【解析】空白部分的面积等于四个半圆的面积减去正方形的面积，再利用阴影部分的面积等于正方形的面积减去空白部分的面积计算．空白部分的面积＝12π222×4－2×2＝2π－4，阴影部分的面积＝2×2－(2π－4)＝4－2π＋4＝8－2π≈8－2×3.14＝8－6.28＝1.72≈1.7.如图3，以等腰直角△ABC两锐角顶点A，B为圆心作等圆，⊙A与⊙B恰好外切，若AC＝2，那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为(B)A.14πB.12πC.22πD.2π图3【解析】∵⊙A与⊙B恰好外切，∴⊙A与⊙B是等圆，∵AC＝2，△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝22，∴⊙A，⊙B的半径均为2.∴两个扇形(即阴影部分)的面积之和＝∠AπR2360＋∠BπR2360＝（∠A＋∠B）πR2360＝14πR2＝π2.第2课时圆锥的侧面积和全面积[见B本P50]1．已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是(B)A．30cm2B．30πcm2C．15cm2D．15πcm22．用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为(D)A．2πcmB．1.5cmC．πcmD．1cm【解析】设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr＝120π×3180，解得r＝1cm.3．在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为22，则这个圆锥的侧面积是(B)A．AπB．3πC．22πD．2π【解析】∵底面半径为1，高为22，∴母线长＝2（2）2＋12＝3.底面圆的周长为：2π×1＝2π，∴圆锥的侧面积为：S侧＝12×2π×3＝3π.4．如图24－4－12，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为(C)图24－4－12A．22cmB.2cmC.22cmD.12cm【解析】由图形可知扇形的圆心角为90°，半径为22cm，根据圆锥的底面圆的周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长可以得2πr＝90180×22π，解得r＝22(cm)．5．如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，那么圆锥的表面积为(C)A．39πcm2B．30πcm2C．24πcm2D．15πcm2【解析】S表＝S侧＋S底＝π×3×5＋π×32＝24π.故选C.6．一个圆锥的侧面积是36πcm2，母线长是12cm，则这个圆锥的底面直径是__6__cm.7．已知圆锥的底面周长是10π，其侧面展开后所得扇形的圆心角为90°，则该圆锥的母线长是__20__．8．底面半径为1，高为3的圆锥的侧面积等于__2π__．【解析】∵圆锥的高为3，底面的半径是1，∴由勾股定理知：母线长＝（3）2＋1＝2，∴圆锥的侧面积＝12底面周长×母线长＝12×2π×2＝2π.9．如图24－4－13，如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去15圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高是__3__cm.图24－4－13【解析】∵从半径为5cm的圆形纸片上剪去15圆周的一个扇形，∴留下的扇形的弧长＝4（2π×5）5＝8π，根据底面圆的周长等于扇形弧长，∴圆锥的底面半径r＝8π2π＝4cm，∴圆锥的高为52－42＝3cm.故答案为3.10．已知一个扇形的半径为60厘米，圆心角为150°.用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为__25__厘米．【解析】扇形的弧长是：150π×60180＝50πcm，设底面半径是rcm，则2πr＝50π，解得：r＝25.故答案是25.11．已知圆锥的高为4，底面半径为2，求：(1)圆锥的全面积；(2)圆锥侧面展开图的圆心角．解：(1)∵圆锥的高为4，底面半径为2，∴圆锥的母线长为25，底面周长是2×2π＝4π，则侧面积是12×4π×25＝45π，底面积是π×22＝4π，则全面积是45π，＋4π＝(4＋45)π.(2)∵圆锥底面半径是2，∴圆锥的底面周长为4π，设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为n°，nπ×25，180＝4π，解得n＝725，圆锥侧面展开图的圆心角为72(5)°.12．如图24－4－14，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得的几何体的表面积为(D)图24－4－14A．4πB．42πC．8πD.82π【解析】如图，过C作CO⊥AB，则Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周所得的几何体的表面积为2×π×OC·AC＝2×π×2×22＝82π.13．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图24－4－15所示，则该几何体的全面积(即表面积)为__68π__(结果保留π)．图24－4－15【解析】圆锥的母线长是32＋42＝5，圆锥的侧面积是12×8π×5＝20π，圆柱的侧面积是8π×4＝32π，几何体的下底面面积是π×42＝16π，则该几何体的全面积(即表面积)为20π＋32π＋16π＝68π.14．如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是__30__．15．已知在△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠A＝90°，把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S1，把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S2，求S1∶S2.【解析】以直角三角形的直角边为轴旋转一周得到的几何体是圆锥．圆锥的表面积S表＝S侧＋S底．解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝AB2＋AC2＝62＋82＝10.(1)绕直线AC旋转一周所得圆锥的表面积：S1＝π·AB·BC＋π·AB2＝π×6×10＋π×62＝60π＋36π＝96π；(2)绕直线AB旋转一周所得圆锥的表面积：S2＝π·AC·BC＋π·AC2＝π×8×10＋π×82＝80π＋64π＝144π.∴S1S2＝96π144π＝23.16．如图24－4－16，已知在⊙O中，AB＝4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°.(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．(3)试判断⊙O中其余部分能否给(2)中的圆锥做两个底面．图24－4－16解：(1)∵AC⊥BD于F，∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∠OBF＝30°，∵在Rt△ABF中，AB＝4，∴BF＝2，∴OB＝4，∴S阴影＝S扇形BOD＝120·π·42360＝163π；(2)设底面半径为r，∵半径OB＝4，2πr＝120·2π·4360∴r＝43；(3)∵⊙O其余部分面积为323π，而圆锥底面面积为169π.∴⊙O中其余部分能给(2)中的圆锥做两个底面．17．在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图24－4－17所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图24－4－17所示的方案二．(两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切)(1)请说明方案一不可行的理由；(2)判断方案二是否可行，若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆的半径；若不可行，请说明理由．图24－4－17解：(1)理由如下：∵扇形的弧长＝2π×164＝8π，圆锥的底面周长＝2πr，∴圆的半径为4cm.由于所给正方形纸片的对角线长为162cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为16＋4＋42＝20＋42＞162，∴方案一不可行．(2)方案二可行．理由如下：设圆锥底面圆的半径为rcm，圆锥的母线长为Rcm，则(1＋2)r＋R＝162，①2πr＝2πR4.②由①②，可得R＝6425＋2＝3202－12823，r＝1625＋2＝802－3223，故所求的圆锥的母线长为3202－12823cm，底面圆的半径为802－3223cm.