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第26章二次函数26．2二次函数的图象与性质26．2.1二次函数y＝ax2的图象与性质C1．如图，函数y＝2x2的图象大致是()2．已知二次函数y＝ax2的图象开口向上，则直线y＝ax－1经过的象限是()A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限D．第一、三、四象限3．已知函数y＝kxk2－2k－6是二次函数，当k＝____时，图象开口向下．D－24．对于函数y＝5x2，下列结论正确的是()A．y随x的增大而增大B．图象开口向下C．图象关于y轴对称D．无论x取何值，y的值总是正的C5．(郸城月考)抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝12x2共有的性质是()A．开口向下B．图象对称轴是y轴C．都有最低点D．y随x的增大而减小B6．若二次函数y＝(m－1)x2，当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是____．7．若点A(－1，a)，B(9，b)在抛物线y＝－x2上，则a____b.(填“＞”“＜”或“＝”)m＜1＞8．已知点A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)在抛物线y＝23x2上，则y1，y2，y3的大小关系是()A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y2＜y3＜y19．(2020·南充)如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3).若抛物线y＝ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是()A．19≤a≤3B．19≤a≤1C．13≤a≤3D．13≤a≤1DA10．(呼和浩特中考)二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是()D11．(大庆中考)如图，抛物线y＝14px2(p＞0)，点F(0，p)，直线l：y＝－p，已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1，B1，连结A1F，B1F，A1O，B1O.若A1F＝a，B1F＝b，则△A1OB1的面积＝____．(只用a，b表示)ab412．根据下列条件求m的值或取值范围．(1)函数y＝(m＋3)x2，当x0时，y随x的增大而减小；当x0时，y随x的增大而增大；(2)函数y＝(2m－1)x2有最小值．解：(1)m＜－3(2)m＞1213．如图所示，某桥洞的截面是抛物线形，在图中建立的平面直角坐标系中，抛物线所对应的二次函数的表达式为y＝－14x2，当桥洞中水面宽AB为12米时，求水面到桥拱顶点O的距离．解：由题意可知A，B两点关于y轴对称，且AB平行于x轴，设点A的坐标为(m，n)，则点B的坐标为(－m，n)，则有－2m＝12，m＝－6，把点A代入y＝－14x2，可得n＝－9.所以水面到桥拱顶点O的距离为9米14．(沈丘模拟)已知一次函数y＝kx＋b与二次函数y＝ax2的图象如图所示，其中一次函数的图象与x轴，y轴的交点分别为A(2，0)，B(0，2)，直线与抛物线的交点分别为P，Q，且它们的纵坐标的比为1∶4，求这两个函数的表达式．解：把点A的坐标(2，0)和点B的坐标(0，2)分别代入y＝kx＋b，得2k＋b＝0，b＝2，解得k＝－1，b＝2，∴一次函数的表达式为y＝－x＋2.设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，则y1＝ax12，y2＝ax22，且y1∶y2＝1∶4，∴y2＝4y1，ax12∶ax22＝1∶4.∴x1∶x2＝(±1)∶2.又点Q在第二象限，点P在第一象限，∴x1∶x2＝－1∶2.∴x2＝－2x1，∴点Q的坐标为(－2x1，4y1).把P，Q两点的坐标分别代入y＝－x＋2，得y1＝－x1＋2，4y1＝2x1＋2，解得x1＝1，y1＝1，∴点P的坐标为(1，1).把点P的坐标(1，1)代入y＝ax2，得a＝1.∴二次函数的表达式为y＝x215．(2020·无锡)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y＝14x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点(0，m)(其中m＞0)且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM，ON为邻边作矩形OMPN.(1)若点A的横坐标为8.①用含m的代数式表示M的坐标；②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．(2)当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．解：(1)①∵点A在y＝14x2的图象上，横坐标为8，∴A(8，16)，∴直线OA的表达式为y＝2x，∵点M的纵坐标为m，∴M(12m，m)②假设P点能落在抛物线上，∵∠AOB＝90°，∴直线OB的表达式为y＝－12x，∵点N在直线OB上，纵坐标为m，∴N(－2m，m)，∴MN的中点的坐标为(－34m，m)，∴P(－32m，2m)，把点P坐标代入抛物线的表达式得到m＝329(2)①当点A在y轴的右侧时，设A(a，14a2)，∴直线OA的表达式为y＝14ax，∴M(8a，2)，∵OB⊥OA，∴直线OB的表达式为y＝－4ax，可得N(－a2，2)，∴P(8a－a2，4)，代入抛物线的表达式得到，(8a－a2)2＝16，∴8a－a2＝±4，∵点A在y轴的右侧，即a＞0，解得a＝42±4，∴直线OA的表达式为y＝(2±1)x②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，∴直线OA的表达式为y＝－4ax＝－(2±1)x，综上所述，满足条件的直线OA的表达式为y＝(2±1)x或y＝－(2±1)x