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第26章二次函数专题课堂(一)巧用抛物线的对称性解题(－1，0)类型一、求对称点的坐标【例1】如图，若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P(3，0)，Q两点关于它的对称轴直线x＝1对称，则Q点的坐标为．分析：直接利用二次函数的对称性得出Q点坐标即可．[对应训练]1．在二次函数y＝x2＋bx＋c中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表，则该抛物线的顶点坐标为，m＝．x－2－101234y72－1－2m272.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的三个顶点A，B，D均在抛物线y＝ax2－4ax＋3(a0)上．若点A是抛物线的顶点，点B是抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为．－1(4，3)(1，－2)类型二、求二次函数的最值或待定系数【例2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，求ac的值．分析：设正方形的对角线OA长为2m，根据正方形的性质可得出B，C坐标，代入二次函数y＝ax2＋c中，即可求出a和c，从而求积．解：设正方形的对角线OA长为2m，则B(－m，m)，C(m，m)，A(0，2m).把A，C的坐标代入表达式可得：c＝2m①，am2＋c＝m②，把①代入②得：m2a＋2m＝m，解得：a＝－1m，则ac＝－1m·2m＝－2D[对应训练]3．(泸州中考)已知二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且－2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为()A．1或－2B．－2或2C．2D．1类型三、求二次函数的表达式【例3】如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，求它对应的函数表达式．分析：首先根据对称轴为1，求出抛物线与x轴的另一个交点，由交点式可直接写出函数表达式．解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为(3，0)，a＝－1，则抛物线与x轴的另一个交点为(－1，0)，故函数表达式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3[对应训练]4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(－2，8)，与x轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的函数表达式．解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(－2，8)，∴抛物线的对称轴为直线x＝－2，∵抛物线与x轴的两个交点间的距离为4，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为(－4，0)，(0，0)，设抛物线表达式为y＝ax(x＋4)，把(－2，8)代入，解得a＝－2，∴抛物线表达式为y＝－2x(x＋4)，即y＝－2x2－8x5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：x…－10123…y…105212…求该二次函数的函数表达式．解：由图表可知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1，2)，(3，2)，则对称轴为直线x＝2，∴顶点坐标为(2，1)，∴设y＝a(x－2)2＋1，将(1，2)代入可得：a＋1＝2，解得a＝1，∴二次函数的表达式为：y＝(x－2)2＋1＝x2－4x＋5类型四、比较函数值的大小【例4】已知二次函数y＝2(x－1)2＋m的图象上有三个点，坐标分别为A(2，y1)，B(3，y2)，C(－4，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是()A．y1y2y3B．y2y1y3C．y3y1y2D．y3y2y1分析：二次函数的抛物线开口向上，对称轴为x＝1.根据点的横坐标距离对称轴的远近来判断点的纵坐标的大小．D[对应训练]6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a0)与x轴分别交于(－1，0)，(5，0)两点，当自变量x＝1时，函数值为y1；当x＝3时，函数值为y2.下列结论正确的是()A.y1y2B．y1＝y2C．y1y2D．不能确定7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…－101234…y…－8－3010－3…若A(m，y1)，B(m－1，y2)两点都在该函数的图象上，当m满足时，y1y2.类型五、巧用抛物线的对称性解决其他问题.Bm＞52类型五、巧用抛物线的对称性解决其他问题【例5】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根的和为．分析：由抛物线的对称轴为x＝1，可得出b＝－2a，再根据根与系数的关系即可得出关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根的和．2[对应训练]8．(2020·天津)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0，c＞1)经过点(2，0)，其对称轴是直线x＝12.有下列结论：①abc＞0；②关于x的方程ax2＋bx＋c＝a有两个不等的实数根；③a＜－12.其中，正确结论的个数是()A．0B．1C．2D．39．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是．－1＜x＜5C第9题图10．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－1，点C在抛物线上，且位于点A，B之间(C不与A，B重合).若△ABC的周长为m，四边形AOBC的周长为．(用含m的式子表示)m＋211．(2020·湘潭)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋5与x轴交于A，B两点．(1)若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴．①求抛物线的表达式；②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B′恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(2)当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15，求b的取值范围．解：(1)①抛物线y＝－x2＋bx＋5的对称轴为直线x＝－b2×（－1）＝b2，又∵若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴，则b2＝2，解得：b＝4，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x＋5②存在，如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B′在对称轴上，连结OB′，PB，则OB′＝OB，PB′＝PB，对于y＝－x2＋4x＋5，令y＝0，则－x2＋4x＋5＝0，解得：x1＝－1，x2＝5，∴A(－1，0)，B(5，0)，∴OB′＝OB＝5，∴CB′＝OB′2－OC2＝25－4＝21，∴B′(2，21)，设点P(2，m)，由PB′＝PB可得：21－m＝m2＋（5－2）2，解得m＝2217，∴P(2，2217)；同理，当点P在x轴下方时，P(2，－2217).综上所述，点P(2，2217)或P(2，－2217)(2)∵抛物线y＝－x2＋bx＋5的对称轴为直线x＝－b2×（－1）＝b2，∴当b≥4时，x＝b2≥2，∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，∴当0≤x≤2时，取x＝2，y有最大值，即y＝－4＋2b＋5＝2b＋1，∴3≤2b＋1≤15，解得：1≤b≤7，又∵b≥4，∴4≤b≤7