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第26章二次函数专题课堂(四)二次函数与几何图形小综合类型一、二次函数与线段、三角形的结合【例1】如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)，抛物线y＝12x2＋bx－2的图象过点C.求抛物线的表达式．分析：如图，抛物线的表达式中只有一个字母系数，因此只需要找一个抛物线上的点代入求解即可；过点C作CD⊥x轴于点D，证△AOB≌△CDA，则CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，可得点C(3，1)，代入抛物线表达式即可.解：过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD＋∠ACD＝90°.∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∠OAB＋∠CAD＝90°，∴∠OAB＝∠ACD，∠OBA＝∠CAD.∵在△AOB与△CDA中，∠OAB＝∠ACD，AB＝CA，∠OBA＝∠CAD，∴△AOB≌△CDA(A.S.A.).∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，∴OD＝OA＋AD＝3，∴C(3，1).∵点C(3，1)在抛物线上，∴1＝12×9＋3b－2，解得：b＝－12.∴抛物线的表达式为：y＝12x2－12x－2[对应训练]1．二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A(－1，4)，B(1，0)，y＝－12x＋b经过点B，且与二次函数y＝－x2＋mx＋n交于点D.过点D作DC⊥x轴，垂足为点C.(1)求二次函数的表达式；(2)点N是二次函数图象上一点(点N在BD上方)，过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值．解：(1)∵二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A(－1，4)，B(1，0)，∴4＝－1－m＋n，0＝－1＋m＋n.解得m＝－2，n＝3，∴二次函数的表达式为y＝－x2－2x＋3(2)y＝－12x＋b经过点B，∴－12×1＋b＝0，∴解得b＝12，∴y＝－12x＋12，设M(m，－12m＋12)，则N(m，－m2－2m＋3)，∴MN＝－m2－2m＋3－－12m＋12＝－m2－32m＋52＝－m＋342＋4916，易得D(－52，74).∵N在BD上方，则－52＜m＜1，∴当m＝－34时，MN有最大值，最大值为4916B2．(2020·烟台)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连结BC，抛物线对称轴为直线x＝12，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m.(1)求抛物线的表达式；(2)当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；(3)抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设OB＝t，则OA＝2t，则点A，B的坐标分别为(2t，0)，(－t，0)，则x＝12＝12(2t－t)，解得：t＝1，故点A，B的坐标分别为(2，0)，(－1，0)，则抛物线的表达式为：y＝a(x－2)(x＋1)＝ax2＋bx＋2，解得a＝－1，故抛物线的表达式为：y＝－x2＋x＋2(2)对于y＝－x2＋x＋2，令x＝0，则y＝2，故点C(0，2)，由点A，C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝－x＋2，设点D的横坐标为m，则点D(m，－m2＋m＋2)，则点F(m，－m＋2)，则DF＝－m2＋m＋2－(－m＋2)＝－m2＋2m，∵－1＜0，故DF有最大值，此时m＝1，点D(1，2)(3)存在，理由：点D(m，－m2＋m＋2)(m＞0)，则OE＝m，DE＝－m2＋m＋2，以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则DEOE＝OBOC或OCOB，即DEOE＝2或12，即－m2＋m＋2m＝2或12，解得：m＝1或－2(舍去)或1＋334或1－334(舍去)，故m＝1或1＋334类型二、二次函数与平行四边形的结合【例2】(2020·青海)如图1(注：与图2完全相同)所示，抛物线y＝－12x2＋bx＋c经过B，D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；(请在图1中探索)(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．(请在图2中探索)【分析】(1)用待定系数法解答便可；(2)求出抛物线与坐标轴的交点A，D坐标及抛物线顶点M的坐标，再将四边形ABMC的面积分为三角形的面积的和，进行计算便可；(3)分两种情况：AB为平行四边形的边；AB为平行四边形的对角线．分别解答便可．解：(1)把B(3，0)和D(－2，－52)代入抛物线的表达式得，－92＋3b＋c＝0，－2－2b＋c＝－52解得b＝1，c＝32，∴抛物线的表达式为：y＝－12x2＋x＋32(2)令x＝0，得y＝－12x2＋x＋32＝32，∴C(0，32)，令y＝0，得y＝－12x2＋x＋32＝0，解得x＝－1，或x＝3，∴A(－1，0)，∵y＝－12x2＋x＋32＝－12(x－1)2＋2，∴M(1，2)，∴S四边形ABMC＝S△AOC＋S△COM＋S△MOB＝12OA·OC＋12OC·xM＋12OB·yM＝12×1×32＋12×32×1＋12×3×2＝92(3)设Q(0，n)，①当AB为平行四边形的边时，有AB∥PQ，AB＝PQ，P点在Q点左边时，则P(－4，n)，把P(－4，n)代入y＝－12x2＋x＋32，得n＝－212，∴P(－4，－212)；②P点在Q点右边时，则P(4，n)，把P(4，n)代入y＝－12x2＋x＋32，得n＝－52，∴P(4，－52)；③当AB为平行四边形的对角线时，如图2，AB与PQ交于点E，则E(1，0)，∵PE＝QE，∴P(2，－n)，把P(2，－n)代入y＝－12x2＋x＋32，得－n＝32，∴n＝－32，∴P(2，32).综上，满足条件的P点坐标为：(－4，－212)或(4，－52)或(2，32)[对应训练]3．(恩施州中考改编)如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，A点坐标为(－1，0)，OC＝2，OB＝3，点D为抛物线的顶点．P为坐标平面内一点，以B，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形，则P点坐标为．(4，23)或(2，－23)或(－2，143)类型三、二次函数与菱形、矩形、正方形的结合【例3】二次函数y＝23x2的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…Cn在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形An－1BnAnCn都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3…＝∠An－1BnAn＝60°，菱形An－1BnAnCn的周长为__4n__．分析：由于△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，都是等边三角形，因此∠B1A0A1＝60°，可先设出△A0B1A1的边长，然后表示出B1的坐标，代入抛物线的表达式中即可求得△A0B1A1的边长，用同样的方法可求得△A1B2A2，△A2B3A3，…的边长，然后根据各边长的特点总结出此题的一般化规律，根据菱形的性质易求菱形An－1BnAnCn的周长．第4题图[对应训练]4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋4x与x轴交于点A，点M是x轴上方抛物线上任意一点，过点M作MP⊥x轴于点P，以MP为对角线作矩形MNPQ，连结NQ，则对角线NQ的取值范围为．0＜NQ≤45．(2020·吉林)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－12x2＋bx＋32与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)，过点A作垂直于x轴的直线l.P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为－m＋32.以PQ，QM为边作矩形PQMN.(1)求b的值；(2)当点Q与点M重合时，求m的值；(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．解：(1)把点A(3，0)代入y＝－12x2＋bx＋32，得到0＝－92＋3b＋32，解得b＝1(2)∵抛物线的表达式为y＝－12x2＋x＋32，∴P(m，－12m2＋m＋32)，∵M，Q重合，∴－m＋32＝－12m2＋m＋32，解得m＝0或4(3)由题意PQ＝MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，∴3－m＝－m＋32－(－12m2＋m＋32)，解得m＝1－7或1＋7(不合题意舍去)，∴m＝1－7(4)当点P在直线l的左边，点M在点Q的下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有－m＋32＜－12m2＋m＋32，∴m2－4m＜0，解得0＜m＜4，观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图1中．同理可得，当点M在点Q的上方，即当m＞4时，也满足条件，如图2中．综上所述，满足条件的m的值为0＜m＜3或m＞4