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第27章圆27．1.2圆的对称性第1课时弧、弦、圆心角之间的关系CB知识点❶：同圆中弧、弦、圆心角之间的关系1．(新安月考)如图，在⊙O中，AB＝AC，∠A＝30°，则∠B等于()A．150°B．75°C．60°D．15°2．如图所示，AB是⊙O的直径，C，D是BE的三等分点．若∠AOE＝60°，则∠COE等于()A．40°B．60°C．80°D．120°第1题图第2题图3．如图所示，D，E分别是⊙O的半径OA，OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD＝CE，则AC与CB的大小关系是．AC＝BC4．(自贡中考)如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连结AD，BC.求证：(1)AD＝BC；(2)AE＝CE.证明：(1)∵AB＝CD，∴AB＝CD，即AD＋AC＝BC＋AC，∴AD＝BC(2)连结AC，∵AD＝BC，∴AD＝CB，又∵CD＝AB，AC＝CA，∴△ADC≌△CBA(SSS)，∴∠ACD＝∠CAB，∴AE＝CE知识点❷：圆是轴对称图形5．下列说法中，不正确的是()A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合C．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个D．圆的每一条直径都是它的对称轴6．如图所示，三个圆是同心圆，图中阴影部分的面积为____．D14πA7．在同圆中，圆心角∠AOB＝2∠COD，则两条弧AB与CD的关系是()A．AB＝2CDB．AB＞2CDC．AB＜2CDD．不能确定8．如图所示，将圆沿AB对折后，圆弧恰好经过圆心O，则AMB的度数为()A．60°B．90°C．120°D．150°C第8题图120°9．如图，在⊙O中，AB＝2AC，则()A．AB＝ACB．AB＝2ACC．AB＜2ACD．AB＞2AC10．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝．C第9题图第10题图100°11．如图所示，在⊙O中，AB＝CD，∠AOC＝100°，则∠BOD＝。12．如图所示，A，B是半径为3的⊙O上的两点，若∠AOB＝120°，C是AB的中点，则四边形AOBC的周长等于。12第12题图第11题图13．如图，AB是⊙O的直径，AC＝CD，∠COD＝60°.(1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由；(2)求证：OC∥BD.解：(1)△AOC是等边三角形．理由如下：∵AC＝CD，∴∠AOC＝∠COD＝60°.又∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形(2)∵∠BOD＝180°－∠AOC－∠COD＝180°－60°－60°＝60°，OB＝OD，∴△OBD为等边三角形，∴∠D＝60°，∴∠D＝∠COD.∴OC∥BD14．如图，在△AOB中，AO＝AB，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于点D，交AO于点E，AD＝BO.试证明BD＝DE，并求∠A的度数．解：设∠A＝x°.∵AD＝BO，OB＝OD，∴OD＝AD.∴∠AOD＝∠A＝x°.∴∠ABO＝∠ODB＝∠AOD＋∠A＝2x°.∵AO＝AB，∴∠AOB＝∠ABO＝2x°.从而∠BOD＝2x°－x°＝x°，即∠BOD＝∠AOD.∴BD＝DE.在△BOD中，由三角形的内角和为180°，得2x＋2x＋x＝180，∴x＝36，则∠A＝36°15．(南阳市第十三中学月考)如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于点G.(1)求证：GE＝EF；(2)若BF的度数为50°，求∠C的度数．解：(1)连结AF，则AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠EAF＝∠AFB，∠GAE＝∠ABF.∴∠GAE＝∠EAF.∴GE＝EF(2)∵BF的度数为50°，∴∠BAF＝50°.∴∠ABF＝∠AFB＝65°.又∵AB∥CD，∴∠ABF＋∠C＝180°.∴∠C＝180°－∠ABF＝115°16．如图，∠AOB＝90°，C，D是AB的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F，求证：AE＝CD＝BF.证明：连结AC，BD.∵∠AOB＝90°，C，D是AB的三等分点，∴AC＝CD＝BD.∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°，AC＝CD＝BD.又∵OA＝OC，∴∠ACE＝75°.∵∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠OAB＝45°.∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°.∴∠ACE＝∠AEC.∴AE＝AC.同理BF＝BD.∴AE＝CD＝BF