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1第2课时切线长定理与三角形的内切圆1．掌握切线长定理及其应用．2．理解三角形内切圆的有关概念．3．学会作三角形的内切圆．重点切线长定理及其应用，三角形的内切圆的画法和内心的性质．难点三角形的内心及其半径的确定．一、创设情境，引入新课请同学们回顾一下，如何判断一条直线是圆的切线？圆的切线具有什么性质？(经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径)你能说明以下这个问题吗？如图所示，PA是∠BAC的平分线，AB是⊙O的切线，切点为E，那么AC是⊙O的切线吗？为什么？解连结OE，过点O作OF⊥AC，垂足为F，因为AB是⊙O的切线，所以OE⊥AB，又因为PA是∠BAC的平分线，OF⊥AC，所以OF＝OE，所以AC是⊙O的切线．二、探究问题，形成概念(一)探究从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等以及这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角问题：1．从圆外一点可以作圆的几条切线？请同学们画一画．2．请问：这一点与切点之间的两条线段的长度相等吗？为什么？3．切线长的定义是什么？通过以上几个问题的解决，使同学们得出以下的结论：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等．这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角．在解决以上问题时，鼓励同学们用不同的观点、不同的知识来解决问题，它既可以用书上阐述的对称的观点解决，也可以用以前学习的其他知识来解决问题．(二)对以上探究得到的知识的应用2思考：如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A，B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，交PA，PB于点E，F，已知PA＝12cm，∠P＝70°，(1)求△PEF的周长；(2)求∠EOF的度数．解(1)因为PA，PB，EF是⊙O的切线，所以PA＝PB，EA＝EQ，FQ＝FB，所以△PEF的周长＝AE＋EP＋PF＋FB＝PA＋PB＝24cm(2)连结OA，OB，OQ，因为PA，PB，EF是⊙O的切线，所以PA⊥OA，PB⊥OB，EF⊥OQ，∠AOE＝∠QOE，∠QOF＝∠BOF，所以∠AOB＝180°－∠P＝110°，所以∠EOF＝12∠AOB＝55°.(三)三角形的内切圆想一想，发给同学们如图所示三角形纸片，请在它的上面截一个面积最大的圆形纸片？提示：画圆必须先确定其位置和大小，即确定圆的圆心和半径，而要截出的圆的面积最大，这个圆必须与三角形的三边都相切．如图，在△ABC中，如果有一个圆与AB，AC，BC都相切，那么该圆的圆心到这个三角形的三边的距离都相等，如何找到这个圆的圆心和半径呢？等待同学们想过之后再阐述如何确定圆心和半径．我们知道，角平分线上的点到角的两边距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．因此，圆心就是△ABC的角平分线的交点，而半径是这个交点到边的距离．根据上述所阐述的，同学们只要分别作∠BAC，∠CBA的平分线，他们的交点I就是圆心，过I点作ID⊥BC，线段ID的长度就是所要画的圆的半径，因此以I点为圆心，ID长为半径作圆，则⊙I必与△ABC的三条边都相切．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等．问题：三角形的内切圆有几个？一个圆的外切三角形是否只有一个？3例题△ABC的内切圆⊙O与AC，AB，BC分别相切于点D，E，F，且AB＝5cm，BC＝9cm，AC＝6cm，求AE，BF和CD的长．解因为⊙O与△ABC的三边都相切，所以AE＝AD，BE＝BF，CD＝CF，设AE＝x，BF＝y，CD＝z，则x＋y＝5，y＋z＝9，z＋x＝6，解得x＝1，y＝4，z＝5，即AE＝1cm，BF＝4cm，CD＝5cm三、练习巩固1．下列说法中，正确的是()A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B．圆有且只有一个外切三角形C．三角形有且只有一个内切圆D．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等2．如图，⊙O内切于Rt△ABC，切点分别是D，E，F，则四边形OECF是________．,第2题图),第3题图)3．如图，在△ABC中，O是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DO＝DB.4．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A，B，若直径AC＝12，∠P＝60°，求弦AB的长．,第4题图),第5题图)5．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2cm，AD＝4cm.(1)求⊙O的直径BE的长；(2)计算△ABC的面积．四、小结与作业小结通过本节课的学习你学会了哪些知识？学会了哪些方法？还有哪些疑惑？作业1．布置作业：教材P55“练习”．2．完成同步练习册中本课时的练习．本节课是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识．体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机4结合．在习题和内切圆的计算中体现了把复杂问题转化为简单问题后解决问题，从而渗透转化思想和方程思想，提高应用意识．