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第27章圆27．2.3切线第2课时切线长定理和三角形的内切圆知识点❶：切线长定理1．(杭州中考)如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝()A．2B．3C．4D．5B2．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠PAB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是()A．4B．8C．43D．83B3．(2020·湘西州)如图，PA，PB为圆O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D.下列结论不一定成立的是()A.△BPA为等腰三角形B．AB与PD相互垂直平分C．点A，B都在以PO为直径的圆上D．PC为△BPA的边AB上的中线B4．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．求证：∠ABO＝12∠APB.证明：连结OA，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB，∴∠ABO＝12(180°－∠AOB).∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴∠OBP＝∠OAP＝90°，∴∠AOB＋∠APB＝180°，∴∠ABO＝12∠APB知识点❷：三角形的内切圆5．(习题2变式)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几步？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步；问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”()A．3步B．5步C．6步D．8步C6．(2020·金华)如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF上一点，则∠EPF的度数是()A．65°B．60°C．58°D．50°B7．如图，要在一块直角三角形的木板上裁剪一个圆片，已知∠ABC＝90°，AB＝30cm，BC＝303cm，要充分地利用这块铁片，使剪下来的圆片的直径尽量大些，那么这个圆片的最大直径是多少？解：设这个圆片的最大半径为rcm.∵AB＝30cm，BC＝303cm，∠ABC＝90°，∴AC＝AB2＋BC2＝60cm，依题意得：30－r＋303－r＝60，解得r＝15(3－1)cm，∴这个圆片的最大直径是30(3－1)cm8．(2020·济宁)如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4.则△DBC的面积是()A．43B．23C．2D．4B9．(2020·青海)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝____．110．(2020·眉山)如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，点A，B为切点，连结AO并延长交PB的延长线于点C，过点C作CD⊥PO，交PO的延长线于点D.已知PA＝6，AC＝8，则CD的长为_________．2511．(天津中考)已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点．(1)如图①，求∠ACB的大小；(2)如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D.若AB＝AD，求∠EAC的大小．解：(1)如图①，连结OA，OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－80°＝100°，由圆周角定理得，∠ACB＝12∠AOB＝50°(2)如图②，连结CE，∵AE为⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，∵∠ACB＝50°，∴∠BCE＝90°－50°＝40°，∴∠BAE＝∠BCE＝40°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝70°，∴∠EAC＝∠ADB－∠ACB＝20°12．(习题12变式)如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∠DEF＝45°.连结BO并延长交AC于点G，AB＝4，AG＝2.(1)求∠A的度数；(2)求⊙O的半径．解：(1)连结OD，OF，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OF⊥AC.∵∠DEF＝45°，∴∠DOF＝90°，∴四边形ADOF是矩形，∴∠A＝90°(2)设⊙O的半径为r，由(1)知四边形ADOF是矩形，又OD＝OF，∴四边形ADOF是正方形，∴OD∥AC，∴△BOD∽△BGA，∴DOAG＝BDBA，即r2＝4－r4，解得r＝43，∴⊙O的半径为4313．(2020·株洲)AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连结AC，BC，直线MN过点C，满足∠BCM＝∠BAC＝α.(1)如图①，求证：直线MN是⊙O的切线；(2)如图②，点D在线段BC上，过点D作DH⊥MN于点H，直线DH交⊙O于点E，F，连结AF并延长交直线MN于点G，连结CE，且CE＝53，若⊙O的半径为1，cosα＝34，求AG·ED的值．(1)证明：连结OC，如图①，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB，∵∠BCM＝∠A，∴∠OCB＋∠BCM＝90°，即OC⊥MN，∴MN是⊙O的切线(2)解：如图②，∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为1，∴AB＝2，∵cos∠BAC＝cosα＝ACAB＝34，即AC2＝34，∴AC＝32，∵∠AFE＝∠ACE，∠GFH＝∠AFE，∴∠GFH＝∠ACE，∵DH⊥MN，∴∠GFH＋∠AGC＝90°，∵∠ACE＋∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠AGC，又∵∠DEC＝∠CAG，∴△EDC∽△ACG，∴EDAC＝CEAG，∴AG·ED＝AC·CE＝32×53＝52