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第27章圆27．3圆中的计算问题第1课时弧长和扇形的面积知识点❶：弧长计算1．(淄博中考)如图，⊙O的直径AB＝6，若∠BAC＝50°，则劣弧AC的长为()A．2πB．8π3C．3π4D．4π3D2．一个扇形的半径为8cm，弧长为163πcm，则扇形的圆心角为()A．60°B．120°C．150°D．180°B3．(2020·宁波)如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中AB的长为_______cm(结果保留π).18π4．(2020·金华)如图，AB的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°.(1)求弦AB的长；(2)求AB的长．解：(1)∵AB的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，∴AC＝OA·sin60°＝2×32＝3，∴AB＝2AC＝23(2)∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝2，∴AB的长是：120π×2180＝4π3知识点❷：扇形面积计算5．(2020·咸宁)如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为()A．π2－2B．π－2C．π2－2D．π－2D6．(2020·福建)一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为______．(结果保留π)7．(2020·重庆)如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为_________．(结果保留π)4π4－π8．(2020·沈阳)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连结AE，则DE的长为()A．4π3B．πC．2π3D．π3C9．(2020·苏州)如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝2，过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，则图中阴影部分的面积为()A.π－1B．π2－1C．π－12D．π2－12B10．(2020·凉山州)如图，点C，D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积是32π，则半圆的半径OA的长为____．311．(2020·河南)如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BC于点D，点E为半径OB上一动点，若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为______________.62＋π312．(2020·烟台)如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连结AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB.(1)求证：EC是⊙O的切线；(2)若AD＝23，求AM的长(结果保留π).解：(1)连结OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝60°，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°，∵BE＝AB，∴∠E＝∠BAE，∵∠ABC＝∠E＋∠BAE＝60°，∴∠E＝∠BAE＝30°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB＝30°，∴∠OBC＝30°＋60°＝90°，∴OB⊥CE，∴EC是⊙O的切线(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝23，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，∴OH＝BC＝23，∴OA＝OHsin60°＝4，∠AOM＝2∠AOH＝60°，∴AM的长度＝60π×4180＝4π313．(2020·潍坊)如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧BF的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连结AC.(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．解：(1)连结BF，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD，∵CE⊥AD，∴BF∥CE，∵点C为劣弧BF的中点，∴OC⊥BF，∵BF∥CE，∴OC⊥CE，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线(2)连结OF，∵OA＝OC，∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵点C为劣弧BF的中点，∴FC＝BC，∴∠FOC＝∠BOC＝60°，∵AB＝4，∴FO＝OC＝OB＝2，∴S扇形FOC＝60π×22360＝23π，即阴影部分的面积为23π14．在某高新技术开发区，相距200m的A，B两地的中点O处有一个精密仪器研究所，为保证研究所正常工作，在其周围50m以内不得有机动车开过，现要修一条从A到B的公路，有两种修路方案．方案1：如图①，分别由A，B向以O为圆心，半径为50m的半圆引切线，两切线相交于点P，沿线段AP，BP修路.方案2：如图②，分别由A，B向以O为圆心，半径为50m的半圆引切线，切点分别为M，N，沿线段AM，弧MN，线段NB修路．试问哪种修路方案较节省？解：方案1：连结OP，OM，ON，可知∠A＝∠B＝30°，∴PA＝PB，又O为AB的中点，∴PO⊥AB，在Rt△PAO中，∠A＝30°，AO＝100m，∴cosA＝AOPA，即cos30°＝100PA，∴PA＝20033m，∴方案①的路线长＝2×20033＝40033(m)方案2：连结OM，ON，∵AM，BN切半圆O于点M，N，∴OM⊥AM，ON⊥BN，在Rt△OMA中，MO＝50m，AO＝100m，∴∠AOM＝60°，AM＝1002－502＝503(m)，同理求得∠BON＝60°，BN＝503m，∴MN的长为60π×50180＝503π(m)，∴方案2的路线长＝2×503＋503π＝(1003＋503π)m，∵1003＋50π3－40033＝50π3－10033＝503(π－23)＜0，∴方案2较节省