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第27章圆27．4正多边形和圆知识点❶：圆和正多边形的关系1．下列说法：①各边相等的圆内接多边形是正多边形；②各角相等的圆内接多边形是正多边形；③既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形．正确的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个B2．(成都中考)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE上的一点(点P不与点D重合)，则∠CPD的度数为()A．30°B．36°C．60°D．72°B3．(2020·绥化)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为DE上一点(点P与点D，点E不重合)，连结PC，PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于____度．54知识点❷：正多边形的有关计算4．(贵阳中考)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连结BD.则∠CBD的度数是()A．30°B．45°C．60°D．90°A5．(2020·扬州)如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝________cm.36．(滨州中考)若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为________．4337．有一边长为4的正n边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为()A．3B．4C．33D．428．(2020·凉山州)如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD∶AB＝()A．22∶3B．2∶3C．3∶2D．3∶22BB9．(2020·滨州)如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E，F，G，H，ED与⊙O相交于点M，则sin∠MFG的值为_______．5510．如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形AFB(阴影部分)的面积为____．1811．(例题变式)如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm.(1)求作该正六边形的外接圆；(要求不写作法，保留作图痕迹)(2)求这个正六边形的半径R、边心距、面积．解：(1)略(2)6cm，33cm，543cm212．(原创题)如图，圆O的半径为R，T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形．(1)求T1与T2的周长比；(2)求图中阴影部分的面积．(用含R的式子表示)解：(1)3∶2(2)32R213．已知⊙O和⊙O上的一点A(如图所示).(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；(2)在(1)题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O的内接正十二边形的一边．解：(1)作法：①作直径AC；②作直径BD⊥AC；③依次连结A，B，C，D四点，四边形ABCD即为⊙O的内接正方形；④分别以A，C为圆心，OA长为半径作弧，交⊙O于E，H，F，G；⑤顺次连结A，E，F，C，G，H各点．六边形AEFCGH即为⊙O的内接正六边形．作图略(2)连结OE，DE，∵∠AOD＝360°4＝90°，∠AOE＝360°6＝60°，∴∠DOE＝∠AOD－∠AOE＝30°，∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边14．(镇江中考)在三角形纸片ABC(如图①)中，∠BAC＝78°，AC＝10.小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图②).(1)∠ABC＝________°；(2)求正五边形GHMNC的边GC的长．(参考值：sin78°≈0.98，cos78°＝0.21，tan78°≈4.7)解：(1)∵五边形ABDEF是正五边形，∴∠BAF＝（5－2）×180°5＝108°，∴∠ABC＝∠BAF－∠BAC＝30°，故答案为：30(2)如图，作CQ⊥AB于Q，在Rt△AQC中，sin∠QAC＝QCAC，∴QC＝AC·sin∠QAC≈10×0.98＝9.8，在Rt△BQC中，∠ABC＝30°，∴BC＝2QC＝19.6，∴GC＝BC－BG＝9.615．(2020·湘西州)观察下列结论：(1)如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60°；(2)如图②，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90°；(3)如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O.也会有类似的结论，你的结论是________________．解：∵(1)如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝（3－2）×180°3＝60°(2)如图②，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝（4－2）×180°4＝90°(3)如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝（5－2）×180°5＝108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O.也有类似的结论是A1N＝AnM，∠NOAn＝（n－2）×180°n.故答案为：A1N＝AnM，∠NOAn＝（n－2）×180°n