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127．4正多边形和圆1．掌握圆内接正多边形、外接圆、边心距、中心角的概念．2．正多边形的画法．重点圆内接正多边形、外接圆、边心距、中心角的概念．难点探索正多边形和圆的关系，正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．一、创设情境，引入新课观察这些美丽的图案，都是在日常生活中，我们经常能看到的利用正多边形得到的物体．(1)你能从图案中找出多边形吗？(2)你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样就能作出一个正多边形来？二、探究问题，形成概念1．如果我们以正多边形的所有对称轴的交点作为圆心，这个点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图．因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．例如：以正五边形为例，这些对称轴也是正五边形各内角的平分线，根据角平分线的性质，点O到各边的距离都相等，记为r.那么以点O为圆心，r为半径的圆就与正五边形的各条边都相切，它是正五边形的内切圆．由此我们得到：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆．这两个圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角．2．画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的．等分圆周有两种方式：(1)用量角器等分圆周方法一：由于在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等2分圆．方法二：先用量角器画一个等于360°/n的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的1/n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点．说明：这两种方法可以任意等分圆，但不可避免地存在误差．(2)用尺规等分圆正方形的作法：如图(1)，在⊙O中，尺规作两条垂直的直径，把⊙O四等分，从而作出正方形ABCD.再逐次平分各边所对弧，则可作正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形．正六边形的作法：方法一：如图(2)，任意作一条直径AB，再分别以A，B为圆心，以⊙O的半径为半径作弧，与⊙O交于点C，D和E，F，则A，C，E，B，F，D为⊙O的六等分点，顺次连接各等分点，得到正六边形ACEBFD.方法二：如图(3)，由于正六边形的半径等于边长．所以在圆上依次截取等于半径的弦，就将圆六等分，顺次连结各等分点即可得到正六边形．说明：尺规作图法是一种比较准确的等分圆的方法，但有较大的局限性，它不能将圆任意等分．三、练习巩固1．如图，圆内接正五边形ABCDE，对角线AC与BD相交于点P，则∠APB的度数为________．2．边长为2/π的正方形的内切圆与外接圆所组成的圆环的面积为________．3．如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比．4．如图，点M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，……正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.(1)求图1中的∠MON的度数；(2)在图2中，∠MON的度数为________，在图3中，∠MON的度数为________；(3)试探索∠MON的度数与正n边形边数n之间的关系．(直接写出答案)四、小结与作业3小结谈谈你在本节课的收获或体会：知识、方法、反思、猜想、交流、愉快、困惑、生活．作业1．布置作业：教材“习题27.4”中第1，2，3题．2．完成同步练习册中本课时的练习．本节课的教学坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，以“引导——探究——发现”教学法为主，辅之直观演示、讨论交流，让学生真正动手操作，动脑思考，动口交流，动心关注．