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第27章圆专题课堂(五)垂径定理与圆周角的应用一、垂径定理的运用类型一：求圆的圆心【例1】如图是破残的圆形轮片，求作此残片所在的圆．(不写作法，保留作图痕迹)解：如图：圆O即为所求分析：根据圆的性质，弦的垂直平分线过圆心，所以只要找到两个弦的垂直平分线，相交点即为圆心，有圆心就可以作出残片所在的圆．[对应训练]1．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.已知：AB＝24cm，CD＝8cm.(1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；(2)求(1)中所作圆的半径．解：(1)作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心，OA长为半径作圆O，则圆O就是此残片所在的圆，如图(2)连结OA，设OA＝x，AD＝12cm，OD＝(x－8)cm，根据勾股定理列方程x2＝122＋(x－8)2，解得x＝13.答：圆的半径为13cm类型二：求线段的长【例2】(2020·滨州)在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC∶OB＝3∶5，则DE的长为()A．6B．9C．12D．15【分析】直接根据题意画出图形，再利用垂径定理以及勾股定理得出答案．C[对应训练]2．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1m，水面宽AB＝1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，求此时排水管水面宽CD的长．解：如图：作OE⊥AB于E，交CD于F，∵AB＝1.2m，OE⊥AB，OA＝1m，∴OE＝0.8m，∵水管水面上升了0.2m，∴OF＝0.8－0.2＝0.6(m)，∴CF＝OC2－OF2＝0.8m，∴CD＝1.6m3．如图，过▱ABCD中的三个顶点A，B，D作⊙O，且圆心O在▱ABCD外部，AB＝8，OD⊥AB于点E，⊙O的半径为5，求▱ABCD的面积．解：连结OA，∴OA＝OD＝5.∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，AB＝8，∴AE＝12AB＝4，在Rt△OEA中，由勾股定理得，OE2＝OA2－EA2，∴OE＝3，∴DE＝2，∴S▱ABCD＝AB·DE＝8×2＝164．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AM⊥BC于点M，交CD于点N，连结AD.(1)求证：AD＝AN；(2)若AE＝22，ON＝1，求⊙O的半径．解：(1)∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，∴∠BAD＝∠BCD.∵AE⊥CD，AM⊥BC，∴∠AMC＝∠AEN＝90°.∵∠ANE＝∠CNM，∴∠BCD＝∠BAM，∴∠BAM＝∠BAD.又∵AE＝AE，∠AEN＝∠AED，∴△ANE≌△ADE，∴AD＝AN(2)∵AE＝22，AE⊥CD，又∵ON＝1，∴设NE＝x，则OE＝x－1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE＋ED＝2x－1，连结AO，则AO＝OD＝2x－1，∵△AOE是直角三角形，AE＝22，OE＝x－1，AO＝2x－1，∴(22)2＋(x－1)2＝(2x－1)2，解得x＝2或x＝－43(舍去)，∴r＝2x－1＝3二、圆周角定理与三角形的综合运用类型一：圆周角定理与直角三角形的综合运用【例3】(2020·扬州)如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin∠ADC的值为()A．21313B．31313C．23D．32A【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ADC＝∠ABC，然后在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．[对应训练]5．(2020·镇江)如图，AB是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于()A．10°B．14°C．16°D．26°C6．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为_________．61°7．(2020·黔东南州)如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离OE为____．28．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN的中点，P是直径MN上一动点，求PA＋PB的最小值．解：作A关于MN的对称点Q，连结MQ，BQ，BQ交MN于P，此时AP＋PB＝QP＋PB＝QB，根据两点之间线段最短，可得PA＋PB的最小值为QB的长度，连结AO，OB，OQ，∵B为AN︵中点，∴∠BON＝∠AMN＝30°，∴∠QON＝2∠QMN＝2×30°＝60°，∴∠BOQ＝30°＋60°＝90°.∵直径MN＝2，∴OB＝1，∴BQ＝12＋12＝2.∴PA＋PB的最小值为2类型二：圆周角定理与等腰三角形的综合运用【例4】(杭州中考)如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA＝_________．分析：利用垂径定理和三角函数得出∠CDO的度数，进而得出∠DOA的度数，利用圆周角定理得出∠DFA的度数即可．30°[对应训练]9．(2020·临沂)如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°.点D为弦AC的中点，点E为BC上任意一点．则∠CED的大小可能是()A．10°B．20°C．30°D．40°C10．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，∠BOC＝50°，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连结AC，CD，那么∠ACD＝________．40°11．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，⊙O经过点A和点B，与斜边BC交于点P(不与B，C重合)，PE是⊙O的直径，连结AE，BE.(1)求证：AP＝AE；(2)若PE＝4，求PC2＋PB2的值．解：(1)∵PE是直径，∴∠EBP＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠ABC＝45°，∴AE＝AP，∴AE＝AP(2)作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N.∵∠MAN＝∠AMP＝∠ANP＝90°，∴四边形AMPN是矩形，∴AN＝PM.∵∠PBN＝∠PCM＝45°，∴△PBN，△PCM都是等腰直角三角形，∴PC2＋PB2＝2PM2＋2PN2＝2(AN2＋PN2)＝2AP2.∵PE是直径，PE＝4，∴∠EAP＝90°，∴2AP2＝16，∴PC2＋PB2＝16